3.1 不等式与绝对值

不等式是有方向的陈述

方程记录相等，不等式记录大小次序。两者的代数规则相近，但有一个关键差异：乘以正数会保持不等号方向，乘以负数会反转方向。

本章的主要训练，是判断哪些变形保留解集，哪些变形必须分情况处理。

基本次序规则

定理

实数次序规则

对实数 a,b,c：

$a<b$ , $a=b$ , $a>b$ 恰有一个成立；
若 $a<b$ 且 $b<c$ ，则 $a<c$ ；
若 $a<b$ ，则 $a+c<b+c$ ；
若 $a<b$ 且 $c>0$ ，则 $ac<bc$ ；
若 $a<b$ 且 $c<0$ ，则 $ac>bc$ 。

最后两条解释了为什么不能随意把不等式两边乘以 $x-1$ ：它的符号取决于 x。

例题

由平方得到不等式

设 $x,y>0$ 。证明

\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2.

因为 $(x-y)^2\ge 0$ ，所以

x^2-2xy+y^2\ge 0,

因此

x^2+y^2\ge 2xy.

又因为 $xy>0$ ，除以 xy 会保持不等号方向：

\frac{x^2+y^2}{xy}\ge 2.

即

\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2.

等号成立当且仅当 $x=y$ 。

这类证明常从一个显然非负的量开始，再整理成目标不等式。

有理不等式

常见错误

不要乘以符号未知的式子

不等式

\frac{x+1}{x-1}\le 2

不能直接乘以 $x-1$ ，因为 $x>1$ 时它为正， $x<1$ 时它为负，而 $x=1$ 时原式没有定义。

可靠方法包括：

按分母符号分情况；
排除零点后乘以平方；
全部移到同一边，再用符号表。

例题

解有理不等式

解

\frac{x+1}{x-1}\le 2.

原式在 $x=1$ 没有定义。先移到同一边：

\frac{x+1}{x-1}-2\le 0.

化简得

\frac{x+1-2x+2}{x-1}\le 0, \qquad \frac{3-x}{x-1}\le 0.

等价于

\frac{x-3}{x-1}\ge 0.

临界点是 1 和 3。符号表显示分式在 $(-\infty,1)$ 和 $[3,\infty)$ 为非负，但 $x=1$ 必须排除。因此解集为

x<1 \quad\text{或}\quad x\ge 3.

绝对值作为距离

定义

绝对值

对实数 a，

|a| = \begin{cases} a, & a\ge 0,\\ -a, & a<0. \end{cases}

几何上，|a| 是数轴上 a 到 0 的距离。

因此绝对值永远非负，而且

|a|=\sqrt{a^2}.

定理

常用绝对值事实

对实数 a,b，

|-a|=|a|, \qquad |ab|=|a||b|, \qquad -|a|\le a\le |a|.

若 $b\ge 0$ ，则

|a|\le b \quad\Longleftrightarrow\quad -b\le a\le b.

若 $b>0$ ，则

|a|<b \quad\Longleftrightarrow\quad -b<a<b.

定理

三角不等式

对所有实数 a,b，

|a+b|\le |a|+|b|.

更一般地，

|a_1+\cdots+a_n|\le |a_1|+\cdots+|a_n|.

三角不等式表示：直接位移不会比绕路位移更长。

解绝对值不等式

绝对值问题常要在内部式子变号的位置分段。

例题

在断点分段

解

|x-2|+|2x+1|\ge 4.

两个式子分别在 $x=2$ 和 x=-1/2 变号。因此考虑

(-\infty,-1/2),\qquad [-1/2,2),\qquad [2,\infty).

若 x<-1/2，

|x-2|+|2x+1|=-(x-2)-(2x+1)=-3x+1.

不等式 $-3x+1\ge 4$ 给出 $x\le -1$ 。

若 -1/2\le x<2，

|x-2|+|2x+1|=-(x-2)+(2x+1)=x+3.

不等式 $x+3\ge 4$ 给出 $x\ge 1$ ，所以本段贡献 $1\le x<2$ 。

若 $x\ge 2$ ，

|x-2|+|2x+1|=(x-2)+(2x+1)=3x-1.

不等式 $3x-1\ge 4$ 给出 x\ge 5/3，与 $x\ge 2$ 合并后是 $x\ge 2$ 。

总解集为

x\le -1 \quad\text{或}\quad x\ge 1.

经典不等式的习惯

后续会见到 Bernoulli 不等式与 AM-GM。无论名称如何，基本习惯相同：写清楚定义域，找出非负量或单调函数，并记录等号何时成立。

定理

两个非负数的 AM-GM

若 $u,v\ge 0$ ，则

\frac{u+v}{2}\ge \sqrt{uv}.

等号成立当且仅当 $u=v$ 。

这可由

(\sqrt u-\sqrt v)^2\ge 0

直接推出。

快速检查

为什么把不等式乘以 $x-1$ 需要分情况？

留意 $x-1$ 的符号。

解答

答案

快速检查

把 $|x-5|<2$ 改写成区间。

使用离 5 的距离。

解答

答案

快速检查

当 $x,y>0$ 时，`x/y + y/x >= 2` 的等号何时成立？

看证明中用到的平方。

解答

答案

练习

解 ((x-2)(x-3))/(x+1) > 0。
证明 Bernoulli 不等式：若 $x>-1$ ，则对每个 $n\in Z^+$ ， $(1+x)^n\ge 1+nx$ 。
解 |x+2|/(x+1)<-1。
证明对实数 a,b， $||a|-|b||\le |a-b|$ 。

引导解答

临界点是 $-1$ , 2, 3，其中 $x=-1$ 排除。符号表给出 $(-1,2)\cup(3,\infty)$ 。
用归纳法。若 $(1+x)^k\ge 1+kx$ ，乘以 $1+x>0$ ，剩下要比较的项是 $kx^2\ge 0$ 。
定义域要求 $x\ne -1$ 。在 $x=-2$ 和 $x=-1$ 分段，可得 -3/2<x<-1。
由三角不等式， $|a|=|(a-b)+b|\le |a-b|+|b|$ ，故 $|a|-|b|\le |a-b|$ ；交换 a,b 即得另一边。

3.1 不等式与绝对值

MATH1025：预备数学

不等式是有方向的陈述

基本次序规则

实数次序规则

由平方得到不等式

有理不等式

不要乘以符号未知的式子

解有理不等式

绝对值作为距离

绝对值

常用绝对值事实

三角不等式

解绝对值不等式

在断点分段

经典不等式的习惯

两个非负数的 AM-GM

快速检查

为什么把不等式乘以 $x-1$ 需要分情况？

答案

把 $|x-5|<2$ 改写成区间。

答案

当 $x,y>0$ 时，`x/y + y/x >= 2` 的等号何时成立？

答案

练习

引导解答

先备知识

本单元重点词汇

本系列更多笔记

3.1 不等式与绝对值

MATH1025：预备数学

不等式是有方向的陈述

基本次序规则

实数次序规则

由平方得到不等式

有理不等式

不要乘以符号未知的式子

解有理不等式

绝对值作为距离

绝对值

常用绝对值事实

三角不等式

解绝对值不等式

在断点分段

经典不等式的习惯

两个非负数的 AM-GM

快速检查

为什么把不等式乘以 x−1x-1x−1 需要分情况？

答案

把 ∣x−5∣<2|x-5|<2∣x−5∣<2 改写成区间。

答案

当 x,y>0x,y>0x,y>0 时，x/y + y/x >= 2 的等号何时成立？

答案

练习

引导解答

先备知识

本单元重点词汇

本系列更多笔记

为什么把不等式乘以 $x-1$ 需要分情况？

把 $|x-5|<2$ 改写成区间。

当 $x,y>0$ 时，`x/y + y/x >= 2` 的等号何时成立？