3.1 不等式與絕對值

不等式是有方向的陳述

方程記錄相等，不等式記錄大小次序。兩者的代數規則相近，但有一個關鍵差異：乘以正數會保留不等號方向，乘以負數會把方向反轉。

本章的主要訓練，是判斷哪些變形保留解集，哪些變形必須分情況處理。

基本次序規則

定理

實數次序規則

對實數 a,b,c：

$a<b$ , $a=b$ , $a>b$ 恰有一個成立；
若 $a<b$ 且 $b<c$ ，則 $a<c$ ；
若 $a<b$ ，則 $a+c<b+c$ ；
若 $a<b$ 且 $c>0$ ，則 $ac<bc$ ；
若 $a<b$ 且 $c<0$ ，則 $ac>bc$ 。

最後兩條解釋了為甚麼不能隨意把不等式兩邊乘以 $x-1$ ：它的符號取決於 x。

例題

由平方得到不等式

設 $x,y>0$ 。證明

\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2.

因為 $(x-y)^2\ge 0$ ，所以

x^2-2xy+y^2\ge 0,

因此

x^2+y^2\ge 2xy.

又因為 $xy>0$ ，除以 xy 會保留不等號方向：

\frac{x^2+y^2}{xy}\ge 2.

即

\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2.

等號成立當且僅當 $x=y$ 。

這類證明常從一個顯然非負的量開始，再把它整理成目標不等式。

有理不等式

常見錯誤

不要乘以符號未知的式子

不等式

\frac{x+1}{x-1}\le 2

不能直接乘以 $x-1$ ，因為 $x>1$ 時它為正， $x<1$ 時它為負，而 $x=1$ 時原式沒有定義。

可靠方法包括：

依分母符號分情況；
排除零點後乘以平方；
全部移到同一邊，再用符號表。

例題

解有理不等式

解

\frac{x+1}{x-1}\le 2.

原式在 $x=1$ 沒有定義。先移到同一邊：

\frac{x+1}{x-1}-2\le 0.

化簡得

\frac{x+1-2x+2}{x-1}\le 0, \qquad \frac{3-x}{x-1}\le 0.

等價於

\frac{x-3}{x-1}\ge 0.

臨界點是 1 和 3。符號表顯示分式在 $(-\infty,1)$ 及 $[3,\infty)$ 為非負，但 $x=1$ 必須排除。因此解集為

x<1 \quad\text{或}\quad x\ge 3.

絕對值作為距離

定義

絕對值

對實數 a，

|a| = \begin{cases} a, & a\ge 0,\\ -a, & a<0. \end{cases}

幾何上，|a| 是數線上 a 到 0 的距離。

因此絕對值永遠非負，而且

|a|=\sqrt{a^2}.

定理

常用絕對值事實

對實數 a,b，

|-a|=|a|, \qquad |ab|=|a||b|, \qquad -|a|\le a\le |a|.

若 $b\ge 0$ ，則

|a|\le b \quad\Longleftrightarrow\quad -b\le a\le b.

若 $b>0$ ，則

|a|<b \quad\Longleftrightarrow\quad -b<a<b.

定理

三角不等式

對所有實數 a,b，

|a+b|\le |a|+|b|.

更一般地，

|a_1+\cdots+a_n|\le |a_1|+\cdots+|a_n|.

三角不等式表示：直接位移不會比繞路位移更長。

解絕對值不等式

絕對值問題常要在內部式子變號的位置分段。

例題

在斷點分段

解

|x-2|+|2x+1|\ge 4.

兩個式子分別在 $x=2$ 和 x=-1/2 變號。因此考慮

(-\infty,-1/2),\qquad [-1/2,2),\qquad [2,\infty).

若 x<-1/2，

|x-2|+|2x+1|=-(x-2)-(2x+1)=-3x+1.

不等式 $-3x+1\ge 4$ 給出 $x\le -1$ 。

若 -1/2\le x<2，

|x-2|+|2x+1|=-(x-2)+(2x+1)=x+3.

不等式 $x+3\ge 4$ 給出 $x\ge 1$ ，所以本段貢獻 $1\le x<2$ 。

若 $x\ge 2$ ，

|x-2|+|2x+1|=(x-2)+(2x+1)=3x-1.

不等式 $3x-1\ge 4$ 給出 x\ge 5/3，與 $x\ge 2$ 合併後是 $x\ge 2$ 。

總解集為

x\le -1 \quad\text{或}\quad x\ge 1.

經典不等式的習慣

後續會見到 Bernoulli 不等式與 AM-GM。無論名稱如何，基本習慣相同：寫清楚定義域，找出非負量或單調函數，並記錄等號何時成立。

定理

兩個非負數的 AM-GM

若 $u,v\ge 0$ ，則

\frac{u+v}{2}\ge \sqrt{uv}.

等號成立當且僅當 $u=v$ 。

這可由

(\sqrt u-\sqrt v)^2\ge 0

直接推出。

快速檢查

為甚麼把不等式乘以 $x-1$ 需要分情況？

留意 $x-1$ 的符號。

解答

答案

快速檢查

把 $|x-5|<2$ 改寫成區間。

使用離 5 的距離。

解答

答案

快速檢查

當 $x,y>0$ 時，`x/y + y/x >= 2` 的等號何時成立？

看證明中用到的平方。

解答

答案

練習

解 ((x-2)(x-3))/(x+1) > 0。
證明 Bernoulli 不等式：若 $x>-1$ ，則對每個 $n\in Z^+$ ， $(1+x)^n\ge 1+nx$ 。
解 |x+2|/(x+1)<-1。
證明對實數 a,b， $||a|-|b||\le |a-b|$ 。

引導解答

臨界點是 $-1$ , 2, 3，其中 $x=-1$ 排除。符號表給出 $(-1,2)\cup(3,\infty)$ 。
用歸納法。若 $(1+x)^k\ge 1+kx$ ，乘以 $1+x>0$ ，剩下要比較的項是 $kx^2\ge 0$ 。
定義域要求 $x\ne -1$ 。在 $x=-2$ 和 $x=-1$ 分段，可得 -3/2<x<-1。
由三角不等式， $|a|=|(a-b)+b|\le |a-b|+|b|$ ，故 $|a|-|b|\le |a-b|$ ；交換 a,b 即得另一邊。

3.1 不等式與絕對值

MATH1025：預備數學

不等式是有方向的陳述

基本次序規則

實數次序規則

由平方得到不等式

有理不等式

不要乘以符號未知的式子

解有理不等式

絕對值作為距離

絕對值

常用絕對值事實

三角不等式

解絕對值不等式

在斷點分段

經典不等式的習慣

兩個非負數的 AM-GM

快速檢查

為甚麼把不等式乘以 $x-1$ 需要分情況？

答案

把 $|x-5|<2$ 改寫成區間。

答案

當 $x,y>0$ 時，`x/y + y/x >= 2` 的等號何時成立？

答案

練習

引導解答

先備知識

本單元重點詞彙

本系列更多筆記

3.1 不等式與絕對值

MATH1025：預備數學

不等式是有方向的陳述

基本次序規則

實數次序規則

由平方得到不等式

有理不等式

不要乘以符號未知的式子

解有理不等式

絕對值作為距離

絕對值

常用絕對值事實

三角不等式

解絕對值不等式

在斷點分段

經典不等式的習慣

兩個非負數的 AM-GM

快速檢查

為甚麼把不等式乘以 x−1x-1x−1 需要分情況？

答案

把 ∣x−5∣<2|x-5|<2∣x−5∣<2 改寫成區間。

答案

當 x,y>0x,y>0x,y>0 時，x/y + y/x >= 2 的等號何時成立？

答案

練習

引導解答

先備知識

本單元重點詞彙

本系列更多筆記

為甚麼把不等式乘以 $x-1$ 需要分情況？

把 $|x-5|<2$ 改寫成區間。

當 $x,y>0$ 時，`x/y + y/x >= 2` 的等號何時成立？