先计数，再展开
二项式定理常被记成公式，但公式背后其实是计数。展开 (x+y)n 时，每一项
都来自于在 n 个括号中各自选 x 或 y。系数记录有多少种选法会产生同一
个 x 次方和同一个 y 次方。
所以在定理前，需要先理解阶乘、排列与组合。
阶乘、排列、组合
定义
阶乘
对正整数 n，
n!=n(n−1)(n−2)⋯2⋅1.约定 0!=1。
定义
排列
从 n 个不同对象中取出 k 个并排成有次序的一列，称为一个 k-排列。
其数量为
P(n,k)=n(n−1)⋯(n−k+1)=(n−k)!n!.排列重视次序。选出 A,B,C 与排成 C,B,A 是不同排列。
定义
二项式系数
若 0≤k≤n，
(kn)=k!(n−k)!n!.它计算从 n 个元素中选出 k 个元素的子集数量。
组合不重视内部次序，所以公式中要除以 k!。
例题
带限制的座位安排
有 m 个女生与 n 个男生排成一列，假设 m>n，且不允许两个男生相邻。
先排列 m 个女生，共有 m! 种方法。女生排好后形成 m+1 个可放男生的
空位，包括最前、最后以及相邻女生之间。
男生要选择并排列 n 个空位，因此方法数为
P(m+1,n)=(m+1−n)!(m+1)!.总方法数为
m!P(m+1,n)=m!(m+1−n)!(m+1)!.Pascal 恒等式
定理
基本二项式系数恒等式
若 0≤k≤n，
(0n)=(nn)=1,(kn)=(n−kn).若 0≤k≤n−1，
(kn)+(k+1n)=(k+1n+1).最后一条就是 Pascal 恒等式，它解释了 Pascal 三角形中每个内部数字为什么
等于上方两个数字之和。
例题
格点路径
若每一步只能向右或向上走一格，从 (0,0) 到 (5,3) 有多少条路径？
总共需要 8 步，其中 5 步向右、3 步向上。只要选出哪 5 步向右，
路径就被决定。因此方法数是
(58).二项式定理
定理
二项式定理
对每个正整数 n，
(x+y)n=k=0∑n(kn)xn−kyk.含有 yk 的项，来自于在 n 个括号中选出恰好 k 个括号提供 y，
其余 n−k 个括号提供 x。这种选法有 (kn) 种。
例题
展开小次方
当 n=3，
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3.x2y 的系数是 3，因为三个括号中恰好一个提供 y，共有
(13)=3 种选法。
抽取系数
二项式定理很适合只寻找某一项。
例题
寻找常数项
找出
(x3−x1)9的常数项。
一般项为
(k9)(x3)9−k(−x1)k=(k9)(−1)kx27−4k.若要常数项，需 27−4k=0，但此方程没有整数解。因此展开式没有常数项。
方法比答案更重要：
- 写出一般项；
- 计算变量指数；
- 令指数等于题目要求的数；
- 检查得到的
k 是否为 0≤k≤n 的整数。
常见错误
二项式索引必须是范围内的整数
若求出的 k 不是整数，或不在 0,…,n 之内，该项并不存在。
快速检查
快速检查
为什么 C(n,k) 要除以 k!，但 P(n,k) 不需要？
快速检查
从 (0,0) 到 (4,2)，每步只可向右或向上，共有多少条路径？
快速检查
(x+y)n 中 xn−2y2 的系数是什么？
练习
- 计算 (37)，并说明其计数意思。
- 用阶乘公式证明 (kn)=(n−kn)。
- 求 (2x−3)6 中 x4 的系数。
- 求
(x^2+1/x)^6 中 x0 的系数。
引导解答
- (37)=35，代表从七个元素中选三个元素的子集数。
\binom{n}{n-k}=n!/((n-k)!k!)=\binom nk。- 一般项为 (k6)(2x)6−k(−3)k。令 6−k=4，得 k=2，
系数为 (26)24(−3)2=2160。
- 一般项为 (k6)(x2)6−kx−k=(k6)x12−3k。
令 12−3k=0，得 k=4，系数为 (46)=15。