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1.1 方程結構與三角恆等式

以弧度制、單位圓定義與恆等式族，審慎處理三角方程。

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MATH1025：預備數學

整理代數技巧、三角內容與帶證明意識例題的預備筆記。

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0.10.1 課程基礎與記號1.11.1 方程結構與三角恆等式目前小節

為甚麼這章重要

本章重點不是背公式，而是理解結構。三角學中，同一個式子可以有 多種改寫方式，但每種改寫只在某些意義下有效：

  • 有些步驟完全保留解集；
  • 有些步驟只會產生候選解；
  • 有些步驟必須先檢查定義域才可以做。

因此，你要學會把三角式看成同時帶有幾何、對稱與代數結構的對象。

弧度制與標準位置

定義

弧度制

若一個角在半徑為 r 的圓上所對應的弧長為 s，則其弧度值為

θ=sr.\theta = \frac{s}{r}.

當 r=1r=1 時，弧度值就等於單位圓上的弧長。這就是為甚麼弧度制是 三角學與微積分最自然的角度單位。

既然一圈完整轉動是 2π2\pi 弧度或 360∘360^\circ，所以

π radians=180∘,\pi \text{ radians} = 180^\circ,

因此

1 radian=180π∘,1∘=π180 radians.1 \text{ radian} = \frac{180}{\pi}^\circ, \qquad 1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ radians}.

定義

標準位置的角

在 xy 平面上，若角的頂點位於原點，且初始射線沿正 x 軸，則該 角稱為標準位置角。

  • 逆時針轉動為正；
  • 順時針轉動為負。

本章其後所有角，除非題目特別聲明，均以弧度為單位。

例題

角度與弧度轉換

150∘150^\circ 可以轉成

150∘=150⋅π180=5π6.150^\circ = 150 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}.

同樣地，-45^\circ = -\pi/4。

弧長與扇形面積

由弧度制的定義可直接得到兩個常用公式：

s=rθ,A=12r2θ.s = r\theta, \qquad A = \frac{1}{2}r^2\theta.

這兩個公式不是額外要背的東西，而是同一個角度概念在長度與面積上 的翻譯。

單位圓上的三角函數

定義

三角函數

把角 θ\theta 放在半徑為 r 的圓上，令終邊與圓相交於 P(x,y)。 則

sin⁡θ=yr,cos⁡θ=xr,tan⁡θ=yx,\sin\theta = \frac{y}{r}, \qquad \cos\theta = \frac{x}{r}, \qquad \tan\theta = \frac{y}{x},

以及

csc⁡θ=ry,sec⁡θ=rx,cot⁡θ=xy.\csc\theta = \frac{r}{y}, \qquad \sec\theta = \frac{r}{x}, \qquad \cot\theta = \frac{x}{y}.

在單位圓上，r=1r=1，所以正弦和餘弦直接變成座標的 y、x 分量。 這就是單位圓之所以重要的幾何原因：它把三角值變成座標。

有些值會因為分母為零而不存在，例如 tan(\pi/2) 不存在，因為 \cos(\pi/2)=0。

例題

單位圓上的精確值

在 0、\pi/6、\pi/4、\pi/3 和 \pi/2 的標準值如下：

| θ\theta | sin⁡θ\sin\theta | cos⁡θ\cos\theta | tan⁡θ\tan\theta | | --- | --- | --- | --- | | 0 | 0 | 1 | 0 | | \pi/6 | 1/2 | \sqrt3/2 | 1/\sqrt3 | | \pi/4 | \sqrt2/2 | \sqrt2/2 | 1 | | \pi/3 | \sqrt3/2 | 1/2 | 3\sqrt3 | | \pi/2 | 1 | 0 | undefined |

這些數值是後面所有公式與練習的基礎。

常見錯誤

不要把角度制當作預設

題目若寫 \pi/3，就表示弧度，不是角度。在本課中，60∘60^\circ 和 \pi/3 只是同一個角用不同單位表示。

對稱與週期

單位圓立即給出基本對稱關係：

sin⁡(−θ)=−sin⁡θ,cos⁡(−θ)=cos⁡θ,tan⁡(−θ)=−tan⁡θ.\sin(-\theta) = -\sin\theta, \qquad \cos(-\theta) = \cos\theta, \qquad \tan(-\theta) = -\tan\theta.

關於 y 軸與原點的對稱，也會導出 π−θ\pi-\theta、π+θ\pi+\theta 和 2π+θ2\pi+\theta 等常見角度變換。

定理

三角函數的週期性

sin⁡(θ+2π)=sin⁡θ,cos⁡(θ+2π)=cos⁡θ,\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta, \qquad \cos(\theta+2\pi)=\cos\theta,sec⁡(θ+2π)=sec⁡θ,csc⁡(θ+2π)=csc⁡θ,\sec(\theta+2\pi)=\sec\theta, \qquad \csc(\theta+2\pi)=\csc\theta,tan⁡(θ+π)=tan⁡θ,cot⁡(θ+π)=cot⁡θ.\tan(\theta+\pi)=\tan\theta, \qquad \cot(\theta+\pi)=\cot\theta.

週期性不只是縮角技巧，而是告訴你每一個函數究竟由圓上的哪一段 結構所控制。

例題

利用對稱性簡化數值

因為 sin⁡(−θ)=−sin⁡θ\sin(-\theta)=-\sin\theta，所以

sin⁡(−π/6)=−sin⁡(π/6)=−12.\sin(-\pi/6) = -\sin(\pi/6) = -\frac12.

因為 cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta)=\cos\theta，所以

cos⁡(−π/6)=cos⁡(π/6)=32.\cos(-\pi/6) = \cos(\pi/6) = \frac{\sqrt3}{2}.

基本恆等式

定理

畢氏恆等式

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1,1+tan⁡2θ=sec⁡2θ,1+cot⁡2θ=csc⁡2θ.\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1, \qquad 1+\tan^2\theta = \sec^2\theta, \qquad 1+\cot^2\theta = \csc^2\theta.

第一條就是單位圓上的座標關係 x2+y2=1x^2+y^2=1。後兩條則是在 cos⁡θ\cos\theta 或 sin⁡θ\sin\theta 不為零時，把第一條除下去得到的。

例題

由一條恆等式推出另一條

從

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

兩邊同除以 cos⁡2θ\cos^2\theta，便得

tan⁡2θ+1=sec⁡2θ.\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta.

這一步只在 cos⁡θ≠0\cos\theta \neq 0 的地方合法。

常見錯誤

不要在未檢查分母時直接除法

若某一步要除以 sin⁡θ\sin\theta 或 cos⁡θ\cos\theta，就必須先確認該量不為 零。否則恆等式可能在某些角度失效。

和角與差角公式

和角公式是本章的主力工具。它們把角度的加減轉成代數運算。

證明

為甚麼餘弦差角公式是關鍵一步

定理

和角與差角公式

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\betasin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\betacos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\betacos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\betatan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}

這些公式幾乎解釋了你之後會遇到的大部分角度代換。

例題

從餘弦公式推出正弦公式

若你已知

cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β,\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta,

把 α\alpha 改成 \pi/2-\alpha、把 β\beta 改成 −β-\beta，便得到

sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β.\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta.

其餘加角和減角公式也可用同樣思路推出。

倍角、積化和差與和差化積

定理

倍角公式

sin⁡(2α)=2sin⁡αcos⁡α\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alphacos⁡(2α)=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\cos(2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha =2\cos^2\alpha-1 =1-2\sin^2\alphatan⁡(2α)=2tan⁡α1−tan⁡2α\tan(2\alpha)=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}

這些公式其實就是把和角公式中兩個角都取成同一個角。

定理

積化和差公式

sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β))\sin\alpha\cos\beta=\frac12\bigl(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\bigr)cos⁡αsin⁡β=12(sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β))\cos\alpha\sin\beta=\frac12\bigl(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\bigr)sin⁡αsin⁡β=−12(cos⁡(α+β)−cos⁡(α−β))\sin\alpha\sin\beta=-\frac12\bigl(\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\bigr)cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β))\cos\alpha\cos\beta=\frac12\bigl(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\bigr)

定理

和差化積公式

sin⁡A+sin⁡B=2sin⁡A+B2cos⁡A−B2\sin A+\sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}sin⁡A−sin⁡B=2cos⁡A+B2sin⁡A−B2\sin A-\sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}cos⁡A+cos⁡B=2cos⁡A+B2cos⁡A−B2\cos A+\cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}cos⁡A−cos⁡B=−2sin⁡A+B2sin⁡A−B2\cos A-\cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}

兩個完整例子

例題

把線性組合寫成單一正弦

把 3cos⁡x−sin⁡x\sqrt3\cos x - \sin x 寫成 rsin⁡(x+α)r\sin(x+\alpha) 的形式。

先寫

rsin⁡(x+α)=rsin⁡xcos⁡α+rcos⁡xsin⁡α.r\sin(x+\alpha)=r\sin x\cos\alpha+r\cos x\sin\alpha.

比較係數可得

rsin⁡α=3,rcos⁡α=−1.r\sin\alpha=\sqrt3, \qquad r\cos\alpha=-1.

因此 r=3+1=2r=\sqrt{3+1}=2，可取 \alpha=2\pi/3。於是

3cos⁡x−sin⁡x=2sin⁡ ⁣(x+2π3).\sqrt3\cos x-\sin x = 2\sin\!\left(x+\frac{2\pi}{3}\right).

若進一步解 3cos⁡x−sin⁡x=1\sqrt3\cos x-\sin x=1，便有

2sin⁡ ⁣(x+2π3)=1,2\sin\!\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=1,

即

sin⁡ ⁣(x+2π3)=12.\sin\!\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=\frac12.

因此

x+2π3=π6+2kπorx+2π3=5π6+2kπ,x+\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{or}\quad x+\frac{2\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,

所以

x=−π2+2kπorx=−π6+2kπ,k∈Z.x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi \quad\text{or}\quad x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \qquad k\in Z.

例題

一個緊湊的代數恆等式

證明

cos⁡4θ+sin⁡4θ=1+cos⁡2(2θ)2=3+cos⁡(4θ)4.\cos^4\theta+\sin^4\theta=\frac{1+\cos^2(2\theta)}{2} =\frac{3+\cos(4\theta)}{4}.

從

(sin⁡2θ+cos⁡2θ)2=1(\sin^2\theta+\cos^2\theta)^2=1

展開開始：

sin⁡4θ+cos⁡4θ+2sin⁡2θcos⁡2θ=1.\sin^4\theta+\cos^4\theta+2\sin^2\theta\cos^2\theta=1.

所以

sin⁡4θ+cos⁡4θ=1−2sin⁡2θcos⁡2θ.\sin^4\theta+\cos^4\theta =1-2\sin^2\theta\cos^2\theta.

再用 sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta，可得

sin⁡2θcos⁡2θ=14sin⁡2(2θ).\sin^2\theta\cos^2\theta=\frac14\sin^2(2\theta).

最後把 sin⁡2(2θ)\sin^2(2\theta) 改寫成 1−cos⁡2(2θ)1-\cos^2(2\theta)，或使用 cos⁡(4θ)=1−2sin⁡2(2θ)\cos(4\theta)=1-2\sin^2(2\theta)，便得到題目要求的形式。

常見錯誤

驗根不能省略

使用恆等式解三角方程之後，一定要把候選解代回原式檢查。變形過程中 可能會引入多餘解，或者隱藏定義域限制。

快速檢查

快速檢查

把 210∘210^\circ 轉成弧度。

用度數與弧度的轉換公式。

解答

答案

快速檢查

sin⁡(−θ)\sin(-\theta)、cos⁡(−θ)\cos(-\theta)、tan⁡(−θ)\tan(-\theta) 分別是甚麼？

用單位圓對稱性回答。

解答

答案

快速檢查

為甚麼 \tan(\pi/2) 會沒有定義？

看看定義中的分母。

解答

答案

快速檢查

說出從 sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 推到 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1+\tan^2\theta=\sec^2\theta 的步驟。

把除法條件講清楚。

解答

答案

練習

  1. 把 330∘330^\circ 轉成弧度，並計算 sin⁡(330∘)\sin(330^\circ) 與 cos⁡(330∘)\cos(330^\circ)。
  2. 用週期性公式化簡 tan⁡(θ+π)\tan(\theta+\pi)。
  3. 由畢氏恆等式證明 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1+\tan^2\theta=\sec^2\theta。
  4. 把 3cos⁡x−sin⁡x\sqrt3\cos x-\sin x 寫成 rsin⁡(x+α)r\sin(x+\alpha)，再解 3cos⁡x−sin⁡x=1\sqrt3\cos x-\sin x = 1。
  5. 證明 \cos^4\theta+\sin^4\theta = (3+\cos 4\theta)/4。

這些練習的目的不是求快，而是讓你能把恆等式當成可以推導、可以 解釋、也可以重用的工具。

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