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0.1 課程基礎與記號

建立 MATH1025 全課共用的記號、語言與代數紀律。

課程目錄

MATH1025：預備數學

整理代數技巧、三角內容與帶證明意識例題的預備筆記。

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0-1
章節 0-1基礎與早期方法2 節
0.10.1 課程基礎與記號目前小節1.11.1 方程結構與三角恆等式

為甚麼這章先行

數學方法課最先要學的不是技巧，而是語言。若記號含糊，後面所有 代數變形都難以核對：你不能清楚知道自己在假設甚麼、在證明甚麼， 或某一步是否真的保留了解集。

這一章主要做三件事：

  • 統一基本集合記號；
  • 引入後面每一份證明都會出現的邏輯符號；
  • 說明甚麼是合法變形，甚麼是會改變題目的步驟。

集合與屬元

定義

集合

集合是由不同對象組成的收集。集合內的對象稱為元素或屬元。

若 x 是集合 AA 的元素，我們寫作 x∈Ax \in A。若 x 不是 AA 的 元素，則寫作 x∉Ax \notin A。

集合屬元是這門課最小而最重要的語言單位。當你能精確寫出屬元關係， 你就能精確寫出子集、定義域、值域和解集。

定義

子集與集合相等

設 AA、BB 為集合。

  • A⊆BA \subseteq B 表示 AA 的每一個元素也屬於 BB。
  • A=BA = B 表示 AA 與 BB 擁有完全相同的元素。

等價地，A=BA = B 若且唯若 A⊆BA \subseteq B 且 B⊆AB \subseteq A。

這個等價關係十分重要。要證明兩個集合相等，通常最穩妥的方法是分 別證明兩個包含關係。

例題

同一個集合的兩種寫法

正偶整數可以寫成

{2m:m∈Z+}\{2m : m \in Z^+\}

或者寫成

{n∈Z+:n=2m for some m∈Z+}.\{n \in Z^+ : n = 2m \text{ for some } m \in Z^+\}.

前者強調規律，後者強調定義元素的性質。

集合建構式與常用集合

課堂常用的集合建構式是

{x∈S:P(x)}\{x \in S : P(x)\}

意思是：在集合 SS 中，所有滿足性質 P(x) 的元素 x 所組成的 集合。

這不只是縮寫，而是清楚交代三件事：

  • 元素從哪個母集合中取；
  • 需要滿足甚麼條件；
  • 條件是否是在更大的集合背景下施加。

定義

常見數集

  • N:={0,1,2,3,… }N := \{0,1,2,3,\dots\} 是自然數集。
  • Z:={…,−2,−1,0,1,2,… }Z := \{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\} 是整數集。
  • Z+:={1,2,3,… }Z^+ := \{1,2,3,\dots\} 是正整數集。
  • Q := \{p/q : p,q \in Z, q \neq 0\} 是有理數集。
  • RR 是實數集。

記號 :=:= 表示「定義為」。當左邊的符號是正在被引入，而不是單純 被陳述時，就會用這個記號。

例題

由性質改寫成區間

集合

{x∈R:x2>1}\{x \in R : x^2 > 1\}

等同於

(−∞,−1)∪(1,∞).(-\infty,-1) \cup (1,\infty).

原因是 x2>1x^2 > 1 等價於 ∣x∣>1|x| > 1，所以 x 必定落在閉區間 [−1,1][-1,1] 外面。

常見錯誤

不要把集合減號與除號混淆

寫 R∖{2}R \setminus \{2\} 才表示「除了 2 以外的所有實數」。 R \2 不是合法記號，因為 2 不是集合。

集合運算與區間記號

定義

交集、聯集與差集

設 AA、BB 為集合。

  • A∩BA \cap B 是同時屬於兩個集合的元素；
  • A∪BA \cup B 是屬於至少一個集合的元素；
  • A∖BA \setminus B 是屬於 AA 但不屬於 BB 的元素。

這些運算會不斷出現在解集描述、定義域判斷，以及分情況討論之中。

區間記號是實數集 RR 的簡寫：

  • [a,b]={x∈R:a≤x≤b}[a,b] = \{x \in R : a \le x \le b\};
  • (a,b)={x∈R:a<x<b}(a,b) = \{x \in R : a < x < b\};
  • (a,b]={x∈R:a<x≤b}(a,b] = \{x \in R : a < x \le b\};
  • [a,∞)={x∈R:a≤x}[a,\infty) = \{x \in R : a \le x\}。

方括號代表端點包含在內；圓括號代表端點不包含在內。

例題

同一個集合的三種描述

所有平方大於 1 的實數可以寫成

{x∈R:x2>1}=(−∞,−1)∪(1,∞)=R∖[−1,1].\{x \in R : x^2 > 1\} = (-\infty,-1) \cup (1,\infty) = R \setminus [-1,1].

三種寫法都正確，只是側重點不同。

邏輯符號與量詞

課堂會反覆用到以下邏輯符號：

  • ∀\forall 表示「對所有」或「任意」；
  • ∃\exists 表示「存在至少一個」；
  • ∃!\exists ! 表示「存在唯一一個」；
  • ⇒\Rightarrow 表示「推出」；
  • ⇔\Leftrightarrow 表示「若且唯若」。

定義

完整數學陳述

一個嚴謹的數學陳述應清楚交代：

  • 變數的定義域；
  • 使用了甚麼運算；
  • 要宣稱甚麼結論。

量詞次序非常重要。以下兩句不是同一回事：

∀x∈Z,∃y∈Z,x+y=0\forall x \in Z, \exists y \in Z, x+y=0

以及

∃y∈Z,∀x∈Z,x+y=0.\exists y \in Z, \forall x \in Z, x+y=0.

前者是真的：對每個整數 x，都可以取 y=−xy=-x。後者是假的： 不存在一個固定整數 y 能一次過抵消所有整數 x。

例題

仔細閱讀量詞

語句

∃!x∈R such that x2−2x+1=0\exists ! x \in R \text{ such that } x^2 - 2x + 1 = 0

表示方程在實數範圍內有且只有一個解。因為

x2−2x+1=(x−1)2,x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2,

唯一解就是 x=1x=1。

常見錯誤

不要隨便交換量詞次序

∀x∃y\forall x \exists y 與 ∃y∀x\exists y \forall x 往往意思完全不同。 一旦交換次序，陳述本身通常就改變了。

函數、定義域、陪域與值域

定義

函數

函數是一條規則，它把定義域中的每一個元素都對應到陪域中的唯一一 個元素。

若 b=f(a)b = f(a)，則 b 是 f 在 a 的值，或者說 a 在 f 下的 像。函數的值域 range(f) 是實際出現的輸出所組成的集合。

定義域不是裝飾，而是規則真正適用的地方；陪域則是允許輸出的所在。 值域是陪域中真正被函數取到的部分。

例題

同一公式，不同值域

考慮 f(x)=x2f(x)=x^2。

  • 若 f:R→Rf : R \to R，則 range(f)=[0,∞)range(f) = [0,\infty)；
  • 若 f:Z+→Z+f : Z^+ \to Z^+，則 range(f) 是正整數中的完全平方數集合。

公式相同，但定義域不同，函數的意思就不同。

常見錯誤

值域不一定等於陪域

若函數寫成 f:A→Bf : A \to B，其中 BB 是陪域，不一定是值域。除非函數 是滿射，否則值域通常比陪域小。

基本變形規則

有些步驟會完全保留方程；有些步驟則只在額外條件下才合法。

定義

等價變形與依賴定義域的步驟

  • 等價變形：兩邊同加或同減一個量、乘上一個非零常數、或以等價 表達式替換。
  • 依賴定義域的步驟：把含未知式的量除掉、兩邊平方、開平方、或 在未檢查條件下使用反函數。

這門課最重要的習慣很簡單：每次變形後，都要問自己新陳述是否與 原陳述有完全相同的解集。

這也是本課一直重複提到 domain、legal、equivalent 和 verify 的原因。

方程、恆等式與條件

早期記號之所以重要，其中一個原因係：方程同恆等式要求你做嘅工作其實唔同。

定義

方程與恆等式

方程 係要你搵出喺指定定義域內，令兩邊相等嘅變數值。

恆等式 則係聲稱：喺指定定義域內，每一個值都會令兩邊相等。

例如

(x−1)(x+1)=x2−1(x-1)(x+1) = x^2 - 1

係 RR 上嘅恆等式，因為每個實數 x 都令兩邊相同。

但

x2−1=0x^2 - 1 = 0

就係方程。呢句唔係對所有 x 都真，而係要搵出令佢成立嘅 x， 即 x=1x = 1 或 x=−1x = -1。

呢個分別正正解釋點解本課一直強調「保留解集」。解方程時，每一步合法 變形都要保留同一批解；驗證恆等式時，則要確保每一步都對整個定義域有效。

絕對值同距離記號

絕對值亦都係早期最需要記號紀律嘅地方之一。

定義

絕對值

對任一實數 x，

∣x∣={x,x≥0,−x,x<0.|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0, \\ -x, & x < 0. \end{cases}

所以 |x| 可以理解為 x 同 0 喺數線上嘅距離。

更一般地，∣a−b∣|a-b| 表示 a 同 b 之間嘅距離。因此絕對值不等式通常 可以直接改寫成區間。

例題

將絕對值不等式改寫成區間

解

∣x−3∣<2|x-3| < 2

呢句話表示 x 同 3 嘅距離細過 2，所以 x 必須落喺 3 左右 各 2 個單位之內。於是得到

1<x<51 < x < 5

用區間記號寫，解集就係 (1,5)。

進入計算前的簡短檢查表

開始任何計算前，先確認以下問題：

  • 變數的定義域是甚麼？
  • 每一步運算在該定義域內是否合法？
  • 你現在是在解方程、證恆等式，還是在描述一個集合？
  • 若你分情況討論，是否已完整覆蓋所有情況？

快速檢查

快速檢查

為甚麼未先聲明 x≠0x \neq 0 就不能直接把方程兩邊除以 x？

同時從合法性與解集等價兩方面思考。

解答

答案

快速檢查

哪個記號表示 AA 和 BB 擁有相同元素：A⊆BA \subseteq B 還是 A=BA = B？

請用集合相等的定義回答。

解答

答案

快速檢查

閱讀語句：forallxinZ,existsyinZ,x+y=0\\forall x \\in Z, \\exists y \\in Z, x+y=0。用文字重述它的意思。

留意量詞次序。

解答

答案

快速檢查

若 f:RtoRf : R \\to R 且 f(x)=x2f(x)=x^2，它的值域是甚麼？

不要把值域和陪域混淆。

解答

答案

練習

  1. 把所有正奇整數寫成集合建構式。
  2. 判斷 {x∈R:x2≤4}\{x \in R : x^2 \le 4\} 是一個區間，還是兩個區間的聯集， 並把它明確寫出來。
  3. 解釋為甚麼 ∃!x∈R\exists ! x \in R 比 ∃x∈R\exists x \in R 更強。
  4. 若 f(x)=1/(x-1)，並且 f:R∖{1}→Rf : R \setminus \{1\} \to R，請寫出它的 定義域、陪域與值域。

上面的快速檢查答案可以作為這門課對精確度的最低要求。

先備知識

這一節可以獨立閱讀。

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