8.2 多项式最大公因式与不可约性

从整数 gcd 到多项式 gcd

第 7 章说明整数整除由最大公因数、Euclidean algorithm、Bézout 恒等式与质因数分解 控制。第 8 章在多项式中重建同一套结构。类比很强，但多项式有一个新的细节： 乘上一个非零常数不会改变整除关系的本质。

例如 $x-1$ 与 $5x-5$ 只差一个非零常数倍。为了让 gcd 唯一，我们取 monic 代表。

多项式整除与相伴多项式

两个非零多项式互相整除，当且仅当它们只差一个非零常数倍。

证明用次数即可。若 $f=d_1g$ 且 $g=d_2f$，则 $f=d_1d_2f$。由于 $f\ne0$， 乘积 $d_1d_2$ 必须是常数多项式 1，所以 $d_1$、$d_2$ 都是常数。

R[x] 中的最大公因式

这里“最大”不是大小排序，而是整除意义：gcd 是吸收所有共同因式的那个共同因式。

多项式 Euclidean algorithm

若

$$f(x)=g(x)q(x)+r(x),\qquad \deg r\lt\deg g,$$

则

$$\gcd(f,g)=\gcd(g,r).$$

原因是：f 与 g 的任何共同因式都整除 $r=f-gq$；反过来，g 与 r 的任何共同 因式也整除 $f=gq+r$。重复这个步骤时，余式次数严格下降，因此算法必会停止。 最后非零余式经 monic 化后就是 gcd。

Bézout 恒等式

延伸 Euclidean algorithm 亦适用于 R[x]。

在上面的例子中，回代得到

$$x-1= \left(-\frac13x+\frac13\right)f(x) \left(\frac23x^2-\frac23x-1\right)g(x).$$

这不只是计算技巧。若 $\gcd(f,g)=1$，Bézout 恒等式说明 f 与 g 的多项式线性 组合可以产生常数多项式 1，这正是许多整除定理的核心。

不可约多项式

不可约性取决于系数域。

在 C[x] 中，每个不可约多项式都是一次式。原因是代数基本定理保证每个非常数复 系数多项式都有根。在 R[x] 中，不可约多项式刚好是一次式以及判别式 $b^2-4ac\lt0$ 的二次式 $ax^2+bx+c$。

证明基本上重复第 7 章的整数证明。Bézout 恒等式是关键。若 p 不整除 a， 则 $ua+vp=1$；乘以 b 后即可证明 $p\mid ab$ 时必有 $p\mid b$。

证明思路

理解多项式 gcd 时，最安全的方法不是把它想成“最大的式子”。多项式没有像正整数 那样自然又合用的大小排序。gcd 的真正意思是：它是一个共同因式，而且每个共同因式 都整除它。因此定义中的第二条才是核心。

Euclidean step

$$\gcd(f,g)=\gcd(g,r)$$

只是共同因式的等价。若某多项式同时整除 f 与 g，它便整除 $r=f-gq$；反过来， 若它同时整除 g 与 r，它便整除 $f=gq+r$。所以两对多项式有完全相同的共同因式， 也就有同一个 monic gcd。算法能停止，是因为每步都有 $\deg r\lt\deg g$，次数严格下降。

Bézout 恒等式来自保留除法中的商式方程。每个新余式都是前两个余式的多项式线性组合； 而最初两个余式就是 f 与 g。因此最后非零余式，即 gcd 的常数倍，也可以写成 $a(x)f(x)+b(x)g(x)$。这也解释了为什么 Bézout 表示通常不唯一：只要一组 a,b 可行， 就可用适当倍数改变它们而保持同一个线性组合。

常见错误

总结

多项式 gcd 理论复制了整数 gcd 理论的结构，只是以次数取代大小，以 monic 标准化 取代正数代表。Euclidean algorithm 在保持共同因式不变的同时降低次数；延伸算法给出 Bézout 恒等式。不可约多项式扮演质数的角色，但不可约性取决于系数域：在 $C$ 上只有 一次式不可约；在 $R$ 上，不可约多项式是一次式与判别式为负的二次式。

练习阅读指南

求多项式 gcd 时，先判断能否直接分解。若两个多项式都容易分解，共同的 monic 因式 可以直接读出；若不容易，就照整数情况做 Euclidean algorithm：除法、用除式与余式 取代原来一对，再重复直到余式为零。最后非零余式可能要乘上一个非零常数，才成为 monic gcd。

求 Bézout 恒等式时，要保留每一步除法方程。gcd 是向下做 Euclidean algorithm 得到， 但 Bézout 表示是把方程向上回代得到。常见错误是改写了一个余式，却忘记它来自哪一个 前一方程。最后最好展开 $a(x)f(x)+b(x)g(x)$，检查高次项是否全部抵消。

判断不可约性时，系数域是题目的一部分。二次式没有有理根，不代表它在 $R$ 上不可约； 二次式没有实根，仍会在 $C$ 上分解。对 $R$ 上二次式，判别式测试已足够；对 $Q$， 则要使用有理根与数系信息。例如 $x^2-5$ 在 $Q$ 上不可约，因为 $\sqrt5$ 不是有理数， 但它在 $R$ 上可分解。

证明题要有意识地重用整数章。不可约因式整除乘积时必整除其中一个因式，背后是 Bézout。若 $p\nmid a$，则 $\gcd(a,p)=1$，所以 $ua+vp=1$；两边乘以 b 后，就能把 $p\mid ab$ 转化为 $p\mid b$。

快速检查

Exercises

1. 用 Euclidean algorithm 计算 R[x] 中的 $\gcd(x^3-1,x^2-1)$。
2. 在例题中，展开右边以验证 $x-1$ 的 Bézout 恒等式。
3. 判断 $x^2-5$ 在 $Q$、$R$、$C$ 上是否不可约。
4. 证明：若 p(x) 不可约且 $p\nmid a(x)$，则 $\gcd(a,p)=1$。
5. 证明：若 p(x) 不可约且 $p\mid a(x)b(x)$，则 $p\mid a(x)$ 或 $p\mid b(x)$。
6. 判断是否存在 $u(x),v(x)\in R[x]$ 使得 $(x^2-1)u(x)+(x-1)v(x)=x+1$。