先計數，再展開
二項式定理常被記成公式，但公式背後其實是計數。展開 (x+y)n 時，每一項
都來自於在 n 個括號中各自選 x 或 y。係數記錄有多少種選法會產生同一
個 x 次方和同一個 y 次方。
所以在定理前，需要先理解階乘、排列與組合。
階乘、排列、組合
定義
階乘
對正整數 n，
n!=n(n−1)(n−2)⋯2⋅1.約定 0!=1。
定義
排列
從 n 個不同物件中取出 k 個並排成有次序的一列，稱為一個 k-排列。
其數量為
P(n,k)=n(n−1)⋯(n−k+1)=(n−k)!n!.排列重視次序。選出 A,B,C 與排成 C,B,A 是不同排列。
定義
二項式係數
若 0≤k≤n，
(kn)=k!(n−k)!n!.它計算從 n 個元素中選出 k 個元素的子集數量。
組合不重視內部次序，所以公式中要除以 k!。
例題
帶限制的座位安排
有 m 個女生與 n 個男生排成一列，假設 m>n，且不允許兩個男生相鄰。
先排列 m 個女生，共有 m! 種方法。女生排好後形成 m+1 個可放男生的
空位，包括最前、最後以及相鄰女生之間。
男生要選出並排列 n 個空位，因此方法數為
P(m+1,n)=(m+1−n)!(m+1)!.總方法數為
m!P(m+1,n)=m!(m+1−n)!(m+1)!.Pascal 恒等式
定理
基本二項式係數恒等式
若 0≤k≤n，
(0n)=(nn)=1,(kn)=(n−kn).若 0≤k≤n−1，
(kn)+(k+1n)=(k+1n+1).最後一條就是 Pascal 恒等式，它解釋了 Pascal 三角形中每個內部數字為何等於
上方兩個數字之和。
例題
格點路徑
若每一步只能向右或向上走一格，從 (0,0) 到 (5,3) 有多少條路徑？
總共需要 8 步，其中 5 步向右、3 步向上。只要選出哪 5 步是向右，
路徑就被決定。因此方法數是
(58).二項式定理
定理
二項式定理
對每個正整數 n，
(x+y)n=k=0∑n(kn)xn−kyk.含有 yk 的項，來自於在 n 個括號中選出恰好 k 個括號提供 y，
其餘 n−k 個括號提供 x。這種選法有 (kn) 種。
例題
展開小次方
當 n=3，
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3.x2y 的係數是 3，因為三個括號中恰好一個提供 y，共有
(13)=3 種選法。
抽取係數
二項式定理很適合只尋找某一項。
例題
尋找常數項
找出
(x3−x1)9的常數項。
一般項為
(k9)(x3)9−k(−x1)k=(k9)(−1)kx27−4k.若要常數項，需 27−4k=0，但此方程沒有整數解。因此展開式沒有常數項。
方法比答案更重要：
- 寫出一般項；
- 計算變數指數；
- 令指數等於題目要求的數；
- 檢查得到的
k 是否為 0≤k≤n 的整數。
常見錯誤
二項式索引必須是範圍內的整數
若求出的 k 不是整數，或不在 0,…,n 之內，該項並不存在。
快速檢查
快速檢查
為甚麼 C(n,k) 要除以 k!，但 P(n,k) 不需要？
快速檢查
從 (0,0) 到 (4,2)，每步只可向右或向上，共有多少條路徑？
快速檢查
(x+y)n 中 xn−2y2 的係數是甚麼？
練習
- 計算 (37)，並說明其計數意思。
- 用階乘公式證明 (kn)=(n−kn)。
- 求 (2x−3)6 中 x4 的係數。
- 求
(x^2+1/x)^6 中 x0 的係數。
引導解答
- (37)=35，代表從七個元素中選三個元素的子集數。
\binom{n}{n-k}=n!/((n-k)!k!)=\binom nk。- 一般項為 (k6)(2x)6−k(−3)k。令 6−k=4，得 k=2，
係數為 (26)24(−3)2=2160。
- 一般項為 (k6)(x2)6−kx−k=(k6)x12−3k。
令 12−3k=0，得 k=4，係數為 (46)=15。