8.2 多項式最大公因式與不可約性

從整數 gcd 到多項式 gcd

第 7 章說明整數整除由最大公因數、Euclidean algorithm、Bézout 恆等式與質因數分解 控制。第 8 章在多項式中重建同一套結構。類比很強，但多項式有一個新的細節： 乘上一個非零常數不會改變整除關係的本質。

例如 $x-1$ 與 $5x-5$ 只差一個非零常數倍。為了令 gcd 唯一，我們取 monic 代表。

多項式整除與相伴多項式

兩個非零多項式互相整除，當且僅當它們只差一個非零常數倍。

證明用次數即可。若 $f=d_1g$ 且 $g=d_2f$，則 $f=d_1d_2f$。由於 $f\ne0$， 乘積 $d_1d_2$ 必須是常數多項式 1，所以 $d_1$、$d_2$ 都是常數。

R[x] 中的最大公因式

這裡「最大」不是大小排序，而是整除意義：gcd 是吸收所有共同因式的那個共同因式。

多項式 Euclidean algorithm

若

$$f(x)=g(x)q(x)+r(x),\qquad \deg r\lt\deg g,$$

則

$$\gcd(f,g)=\gcd(g,r).$$

原因是：f 與 g 的任何共同因式都整除 $r=f-gq$；反過來，g 與 r 的任何共同 因式也整除 $f=gq+r$。重複這個步驟時，餘式次數嚴格下降，因此算法必會停止。 最後非零餘式經 monic 化後就是 gcd。

Bézout 恆等式

延伸 Euclidean algorithm 亦適用於 R[x]。

在上面的例子中，回代得到

$$x-1= \left(-\frac13x+\frac13\right)f(x) \left(\frac23x^2-\frac23x-1\right)g(x).$$

這不只是計算技巧。若 $\gcd(f,g)=1$，Bézout 恆等式說明 f 與 g 的多項式線性 組合可以產生常數多項式 1，這正是許多整除定理的核心。

不可約多項式

不可約性取決於係數域。

在 C[x] 中，每個不可約多項式都是一次式。原因是代數基本定理保證每個非常數複 係數多項式都有根。在 R[x] 中，不可約多項式剛好是一次式以及判別式 $b^2-4ac\lt0$ 的二次式 $ax^2+bx+c$。

證明基本上重複第 7 章的整數證明。Bézout 恆等式是關鍵。若 p 不整除 a， 則 $ua+vp=1$；乘以 b 後即可證明 $p\mid ab$ 時必有 $p\mid b$。

證明思路

理解多項式 gcd 時，最安全的方法不是把它想成「最大的式子」。多項式沒有像正整數 那樣自然又合用的大小排序。gcd 的真正意思是：它是一個共同因式，而且每個共同因式 都整除它。因此定義中的第二條才是核心。

Euclidean step

$$\gcd(f,g)=\gcd(g,r)$$

只是共同因式的等價。若某多項式同時整除 f 與 g，它便整除 $r=f-gq$；反過來， 若它同時整除 g 與 r，它便整除 $f=gq+r$。所以兩對多項式有完全相同的共同因式， 也就有同一個 monic gcd。算法能停止，是因為每步都有 $\deg r\lt\deg g$，次數嚴格下降。

Bézout 恆等式來自保留除法中的商式方程。每個新餘式都是前兩個餘式的多項式線性組合； 而最初兩個餘式就是 f 與 g。因此最後非零餘式，即 gcd 的常數倍，也可以寫成 $a(x)f(x)+b(x)g(x)$。這也解釋了為甚麼 Bézout 表示通常不唯一：只要一組 a,b 可行， 就可用適當倍數改變它們而保持同一個線性組合。

常見錯誤

總結

多項式 gcd 理論複製了整數 gcd 理論的結構，只是以次數取代大小，以 monic 標準化 取代正數代表。Euclidean algorithm 在保持共同因式不變的同時降低次數；延伸算法給出 Bézout 恆等式。不可約多項式扮演質數的角色，但不可約性取決於係數域：在 $C$ 上只有 一次式不可約；在 $R$ 上，不可約多項式是一式一次式與判別式為負的二次式。

練習閱讀指南

求多項式 gcd 時，先判斷能否直接分解。若兩個多項式都容易分解，共同的 monic 因式 可以直接讀出；若不容易，就照整數情況做 Euclidean algorithm：除法、用除式與餘式 取代原來一對，再重複直到餘式為零。最後非零餘式可能要乘上一個非零常數，才成為 monic gcd。

求 Bézout 恆等式時，要保留每一步除法方程。gcd 是向下做 Euclidean algorithm 得到， 但 Bézout 表示是把方程向上回代得到。常見錯誤是改寫了一個餘式，卻忘記它來自哪一個 前一方程。最後最好展開 $a(x)f(x)+b(x)g(x)$，檢查高次項是否全部抵消。

判斷不可約性時，係數域是題目的一部分。二次式沒有有理根，不代表它在 $R$ 上不可約； 二次式沒有實根，仍會在 $C$ 上分解。對 $R$ 上二次式，判別式測試已足夠；對 $Q$， 則要使用有理根與數系資訊。例如 $x^2-5$ 在 $Q$ 上不可約，因為 $\sqrt5$ 不是有理數， 但它在 $R$ 上可分解。

證明題要有意識地重用整數章。不可約因式整除乘積時必整除其中一個因式，背後是 Bézout。若 $p\nmid a$，則 $\gcd(a,p)=1$，所以 $ua+vp=1$；兩邊乘以 b 後，就能把 $p\mid ab$ 轉化為 $p\mid b$。

快速檢查

Exercises

1. 用 Euclidean algorithm 計算 R[x] 中的 $\gcd(x^3-1,x^2-1)$。
2. 在例題中，展開右邊以驗證 $x-1$ 的 Bézout 恆等式。
3. 判斷 $x^2-5$ 在 $Q$、$R$、$C$ 上是否不可約。
4. 證明：若 p(x) 不可約且 $p\nmid a(x)$，則 $\gcd(a,p)=1$。
5. 證明：若 p(x) 不可約且 $p\mid a(x)b(x)$，則 $p\mid a(x)$ 或 $p\mid b(x)$。
6. 判斷是否存在 $u(x),v(x)\in R[x]$ 使得 $(x^2-1)u(x)+(x-1)v(x)=x+1$。