11.3 双曲线：焦点、渐近线与切线几何

动机：距离差与两个分支

椭圆与双曲线的区别在于焦点距离的关系。椭圆固定两距离之和，双曲线则固定两距离之差的绝对值。绝对值不可省略：两分支的有符号距离差相反。若没有指定分支就去掉绝对值，会丢失一半曲线。

本节把距离描述与二次方程联系起来，再研究切线、法线和渐近线。每次转换都有条件：距离方程平方后须证明逆命题，除以坐标可能漏掉顶点，而消去参数可能加入无法实际达到的极限点。最后的垂足问题会具体展示这一区别。

定义与焦点—准线构造

定义

双曲线及其参数

非退化双曲线的离心率满足 $e\gt 1$。水平标准式为

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1, \qquad a>0,\quad b>0.$$

记

$$c=\sqrt{a^2+b^2}=ae,\qquad b=a\sqrt{e^2-1},\qquad c>a.$$

中心为原点，顶点为 $(\pm a,0)$，焦点为 $F_1=(-c,0)$ 与 $F_2=(c,0)$，对应准线分别为 $x=-a/e$ 与 $x=a/e$。

先在坐标 $(\bar x,\bar y)$ 中取焦点 $(k,0)$，其中 $k\gt 0$，准线为 $\bar x=0$。焦点条件为

$$\sqrt{(\bar x-k)^2+\bar y^2}=e|\bar x|.$$

两边非负，平方可逆。展开并配方得到

$$\bar y^2=(e^2-1)\left(\bar x+\frac{k}{e^2-1}\right)^2 -\frac{k^2e^2}{e^2-1}.$$

令

$$x=\bar x+\frac{k}{e^2-1},\quad y=\bar y,\quad a=\frac{ke}{e^2-1},\quad b=\frac{ke}{\sqrt{e^2-1}},$$

便得到标准式。原焦点变为 $(ae,0)$，准线变为 $x=a/e$；关于纵轴反射便得到另一组。原焦点与准线距离为正，所以焦点不在准线上。这里根号内使用双曲线的正数表达式，不能误套椭圆的参数公式。

方程说明 $|x|\geq a$，等号只在两个顶点成立。其余位置的纵坐标有正负两种选择。因此上半部不等于右分支：每个分支都有上、下两部分，在顶点连接。

定理：焦点距离差的绝对值

定理

焦点描述与直角坐标方程等价

设 $a\gt 0$、$c\gt a$、$b^2=c^2-a^2$，焦点为 $(\pm c,0)$。点属于该双曲线，当且仅当

$$|PF_1-PF_2|=2a.$$

右分支满足 $PF_1-PF_2=2a$，左分支的有符号距离差为 $-2a$。

证明思路：开平方前先控制符号

先假设绝对距离差条件成立。记 $r_i=PF_i$，选取 $\sigma\in\{1,-1\}$ 使 $r_1-r_2=2a\sigma$。由平方差公式，

$$(r_1-r_2)(r_1+r_2)=4cx, \qquad r_1+r_2=2\sigma ex.$$

因此 $r_1=\sigma(a+ex)$。将此式平方，并代入第一焦点距离的坐标表达式，得

$$(x+c)^2+y^2=(a+ex)^2, \qquad (e^2-1)x^2-y^2=a^2(e^2-1),$$

即所需方程。反过来，从标准式计算两焦点距离的平方，得到

$$r_1=|ex+a|,\qquad r_2=|ex-a|.$$

绝对值不能直接删去。右分支上 $ex\geq ea=c\gt a$，两式内部均为正，相减得两倍实半轴长。左分支上 $ex\leq-c$，两式内部均为负，取绝对值后有符号距离差反向。两分支都满足原来的绝对值条件。至此证明的是等价关系，而不只是平方后得到的必要条件。

概念视角几何

同一曲线的两种距离描述

这些距离公式也恢复焦点—准线条件：

$$r_1=e\left|x+\frac ae\right|,\qquad r_2=e\left|x-\frac ae\right|.$$

绝对值内的量对应到各条竖直准线的距离。每一组正确配对的焦点与准线都描述整条双曲线，并非只描述较近的分支。绝对距离差的描述对称地使用两个焦点；焦点—准线描述则选定一个焦点和一条直线。两种观点一致，但焦点与准线不能配错。

反例模式

椭圆参数不能直接定义双曲线

若声称两个相距四单位的焦点可以有恒为六单位的绝对距离差，就违反逆三角不等式：两距离之差的绝对值不超过焦点间距离。例如 $a=3,c=2$ 不能定义上述双曲线，却可定义距离和为六的椭圆。具体来说，$P=(3,0)$ 到焦点 $(\pm2,0)$ 的距离为五和一，和为六，差却为四。正确修补是对非退化双曲线要求 $c\gt a$。等号也须排除：逆三角不等式取等号给出共线射线，而非非退化曲线。

例题

识别双曲线并检查两种焦点条件

考虑 $x^2/9-y^2/16=1$。有 $a=3,b=4,c=5,e=5/3$，所以准线为 $x=\pm9/5$。点 $P=(5,16/3)$ 位于右分支，因为

$$\frac{25}{9}-\frac{(16/3)^2}{16}=1.$$

它到左、右焦点的距离依次为 $34/3$ 和 $16/3$，差为六。它到右准线的距离为 $16/5$，乘以离心率后正好是 $16/3$。两种描述在该点一致。关于纵轴反射此点，会交换两个焦点距离，只改变距离差的符号。

参数式、切线与法线

恒等式 $\sec^2\theta-\tan^2\theta=1$ 给出

$$\gamma(\theta)=(a\sec\theta,b\tan\theta).$$

右分支取 $-\pi/2\lt\theta\lt\pi/2$，左分支取 $\pi/2\lt\theta\lt3\pi/2$。端点角的余弦为零，必须排除。在每个区间内，正切取遍所有实数，正割的符号则选定分支，因此每个区间覆盖对应的完整分支。

定理

包括顶点的切线与法线公式

在双曲线上的点 $P=(x_0,y_0)$，切线为

$$\frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_0y}{b^2}=1,$$

法线为

$$a^2y_0x+b^2x_0y-(a^2+b^2)x_0y_0=0.$$

定义函数的梯度为 $(2x_0/a^2,-2y_0/b^2)$。双曲线上的点不可能横坐标为零，所以梯度非零。切线垂直于梯度，展开点法式便得到所列切线方程；法线沿梯度方向，且所列方程通过接触点。整个证明无需除以纵坐标。

顶点处的切线竖直，法线是横轴。非顶点处，隐函数求导给出切线斜率 $b^2x_0/(a^2y_0)$，法线斜率 $-a^2y_0/(b^2x_0)$。顶点处参数导数的水平分量虽为零，但整个导数向量非零；竖直切线不代表曲线出现奇点。

例题

非顶点切线与顶点例外

在前例的点 $(5,16/3)$，代入公式得到切线与法线

$$5x-3y=9,\qquad 9x+15y=125.$$

斜率分别为 $5/3$ 与 $-3/5$，乘积为负一。但在 $(3,0)$，对应方程是 $x=3$ 与 $y=0$。除以纵坐标的计算会漏掉这条有效切线；隐式方程直接包含两种情况，不必另设极限约定。

渐近线与平方根的符号

解出纵坐标可得

$$y=\pm\frac ba\sqrt{x^2-a^2},\qquad |x|\geq a.$$

与绝对值近似之间的差为

$$\sqrt{x^2-a^2}-|x| =\frac{-a^2}{\sqrt{x^2-a^2}+|x|}\longrightarrow0 \quad\text{当 }|x|\longrightarrow\infty.$$

因此渐近线是 $y=\pm(b/a)x$。上半部向右无穷远时接近正斜率直线，向左无穷远时接近负斜率直线；下半部的选择相反。若将平方的平方根误写成坐标本身，就会弄错左侧行为。纵向距离趋于零也保证到相应直线的垂直距离趋于零。渐近线在无穷远处被接近，并不是某个有限点处的切线。

反射：区分真实焦点与虚焦点

令 $u_i=(P-F_i)/|P-F_i|$，这是从焦点指向曲线上点的单位向量。每个分支的有符号焦点距离差恒定；沿正则参数曲线求导，说明切线垂直于 $u_1-u_2$。这个差非零：若两个单位方向相同，该点必须位于焦点轴的外侧射线上，而那里的绝对距离差等于完整焦距，不能等于双曲线所要求的较小常数。

入射光从第一焦点走向接触点，方向为 $u_1$。关于切线反射后，方向变成

$$u_1-2\frac{u_1\cdot(u_1-u_2)}{|u_1-u_2|^2}(u_1-u_2)=u_2,$$

因为点积分子为 $1-u_1\cdot u_2$，分母为其两倍。出射光因此远离第二焦点，而反向延长线通过它。这就是与切线等倾角的虚焦点解释，与椭圆反射后射向另一焦点不同。

顶点处两个单位向量相反，其差仍定义法向方向，反射公式仍然成立。但它们的和为零，因此不能用这个和定义顶点处的切向方向。

垂足轨迹：圆方程为什么还需要排除点

例题

确定焦点垂足的精确轨迹

固定 $F=(-c,0)$，令 $X=(u,v)$ 为从该焦点到某个有限接触点处切线的垂足。先证明所有垂足满足 $u^2+v^2=a^2$，再判断哪些圆上点真正能够达到。

把切线写成 $\alpha x+\beta y=1$，其系数满足

$$\alpha=\frac{x_0}{a^2},\quad \beta=-\frac{y_0}{b^2},\quad a^2\alpha^2-b^2\beta^2=1.$$

记 $N=\alpha^2+\beta^2\gt 0$。正交投影给出

$$X=F+\lambda(\alpha,\beta),\qquad \lambda=\frac{1+c\alpha}{N}.$$

计算垂足到原点的距离平方：

$$|X|^2=c^2+\frac{1-c^2\alpha^2}{N} =c^2-b^2=a^2.$$

第二个等号使用系数恒等式及 $c^2=a^2+b^2$。这只证明轨迹包含在圆中，尚未证明圆上每点都属于轨迹。

反过来，选取圆上一点 $(u,v)$，令 $d=a^2+cu$。由于焦点在圆外，向量 $X-F=(u+c,v)$ 非零。通过候选垂足并垂直于该向量的唯一直线为

$$(u+c)x+vy=d.$$

若 $d\ne0$，定义有限点

$$P=\left(\frac{a^2(u+c)}d,-\frac{b^2v}d\right).$$

利用圆方程直接展开可得

$$a^2(u+c)^2-b^2v^2=(a^2+cu)^2=d^2.$$

所以该点在双曲线上，它的切线恰好就是候选直线。直线通过选定的圆上点，并垂直于从焦点到该点的线段，因此该点确为垂足。这个显式接触点完成了逆命题，不能只凭消元后的方程宣称存在。

若 $d=0$，则两个候选点为

$$\left(-\frac{a^2}{c},\frac{ab}{c}\right),\qquad \left(-\frac{a^2}{c},-\frac{ab}{c}\right).$$

对应直线通过原点，正是两条渐近线。标准切线方程表明，有限接触点处的切线不可能通过原点，所以这两点必须排除；它们只是接触点趋向无穷远时垂足的极限。精确轨迹是圆去掉这两个点。

当 $a=3,b=4,c=5$ 时，从 $(-5,0)$ 到切线 $5x-3y=9$ 的垂足为 $(0,-3)$：法向量为 $(5,-3)$，从焦点加上此向量便到达垂足。被排除的是 $(-9/5,\pm12/5)$；它们不是双曲线上的接触点。

常见错误与总结

把距离和与绝对距离差混淆，会改变圆锥曲线。漏掉分支符号会破坏逆命题，除以纵坐标会丢失顶点切线，而消元所得方程可能描述轨迹的闭包，不是实际达到的精确集合。

标准方程把这些问题联系起来：它决定分支上的焦点距离，给出正则的切线与法线方程，并证明渐近线不是有限点处的切线。处理轨迹题时，应先交代参数定义域，再在求出方程后证明可达性。

快速检查

思考检查

为什么要同时描述两个分支时必须使用绝对距离差？

比较左、右分支的焦点距离。

解答 · 答案

右分支的有符号距离差为 $2a$，左分支为 $-2a$；两者的绝对距离差都是 $2a$。

思考检查

纵坐标为零会令切线不存在吗？

在顶点代入隐式切线方程。

解答 · 答案

不会。在 $(\pm a,0)$，切线为 $x=\pm a$，法线为 $y=0$。失效的只是有限斜率公式。

练习

1. 对 $x^2/16-y^2/9=1$，求焦点、离心率、准线与渐近线。
2. 求该双曲线在 $(5,9/4)$ 处的切线与法线。
3. 将左焦点记为第一焦点，求左分支上的有符号焦点距离差。
4. 当 $a=3,b=4$ 时，求从左焦点出发的精确垂足轨迹，并解释为何两个圆上点缺失。
5. 解释上述反射构造的出射光为何远离第二焦点，并包含顶点的情况。

解答 · 参考解答 1

有 $a=4,b=3,c=5,e=5/4$。焦点为 $(\pm5,0)$，准线为 $x=\pm16/5$，渐近线为 $y=\pm3x/4$。

解答 · 参考解答 2

切线为 $5x-4y=16$，法线为 $16x+20y=125$。两线都经过该点，斜率互为负倒数。

解答 · 参考解答 3

距离差为 $-8$，因为点更接近左焦点；其绝对值为八。

解答 · 参考解答 4

轨迹是 $u^2+v^2=9$ 去掉 $(-9/5,\pm12/5)$。在这两点，唯一的垂直候选直线是渐近线，并非有限接触点处的切线。其余每个圆上点都有例题所给的显式有限接触点。

解答 · 参考解答 5

反射把 $u_1$ 变为 $u_2$，后者从第二焦点指向接触点，所以出射光远离该焦点。顶点处两单位向量相反，同一反射公式仍成立。