10.2 参数曲线与向量函数

运动的点比路径本身包含更多信息

方程 $x^2+y^2=R^2$ 描述一个点集，却没有说明运动从哪里开始、朝哪个方向 进行，或移动得多快。参数化通过为每个参数值指定一个点，补充这些信息。 若参数表示时间，同一条几何路径便可以对应不同的运动。

首先要求连续性，使点的位置不会随参数变化而突然跳跃。可微性是另一个条件， 当我们要求瞬时速度时才需要它。连续曲线不一定可微。把定义与后来的附加条件 分开，才能保留任意连续函数图像这类合法的连续曲线。

曲线、分量与轨迹

定义

参数曲线与轨迹

设 $I$ 是区间，$n$ 为正整数。$\mathbb R^n$ 中的参数曲线是连续函数

$$\gamma:I\longrightarrow\mathbb R^n,\qquad \gamma(t)=(x_1(t),\ldots,x_n(t)).$$

函数 $x_i$ 是坐标分量。轨迹或像集是

$$\gamma(I)=\{\gamma(t):t\in I\}.$$

因此 $\gamma$ 是指定参数化的函数，$\gamma(I)$ 则是它经过的点的集合。

参数区间是定义的一部分。限制区间可能缩小轨迹，也可能只减少重复经过而不 改变轨迹。即使输出有多个坐标，参数仍是一个实数。向量函数是这个向量值函数 的另一名称，并非互不相关的几个标量运动。

定理

连续性可以逐分量检查

$\gamma:I\to\mathbb R^n$ 在 $t_0\in I$ 连续，当且仅当每个分量 $x_i$ 都在那里连续。端点处的极限从区间内部取。

任意向量 $\mathbf z=(z_1,\ldots,z_n)$ 的欧几里得范数满足

$$|z_i|\le\|\mathbf z\|\le\sqrt n\max_{1\le j\le n}|z_j|.$$

第一条来自 $z_i^2$ 是范数平方中的一个非负项。第二条则因为每个坐标平方 都不超过最大绝对坐标的平方，共有 $n$ 项。将它们用于 $\gamma(t)-\gamma(t_0)$：若范数趋于零，每个坐标差也趋于零；反过来， 有限多个坐标差趋于零，会使其最大值趋于零，因此范数也趋于零。这就证明了 两个方向，而不是直接假设向量极限可以逐坐标处理。

例题

消去参数时保留区间限制

设 $\gamma:[0,1]\to\mathbb R^2$，$\gamma(t)=(t,2t)$。各分量连续，且

$$\gamma(0)=(0,0),\qquad \gamma(1)=(1,2).$$

因为 $x=t$、$y=2t$，消去参数得到 $y=2x$。但 $t\in[0,1]$ 同时要求 $0\le x\le1$，所以轨迹是连接上述端点的线段，而非整条直线。反过来， 每个满足 $0\le x\le1$ 的点 $(x,2x)$ 都可取 $t=x$ 得到，因此描述完整。 参数增加时，点由 $(0,0)$ 移向 $(1,2)$。

概念视角结构

参数化与像集回答不同问题

函数 $\gamma$ 回答“这个参数值对应哪里”，像集则回答“哪些点至少出现一次”。 只保留像集，会丢失经过次序、时间安排与经过次数。在线段例题中，$y=2x$ 连同区间描述像集，而两个分量公式还规定怎样沿线段移动。要确定参数曲线， 应记录映射与定义域，不能只留下消去参数后的坐标方程。

闭曲线与简单曲线

定义

闭区间上的闭合性与简单性

设 $\gamma:[a,b]\to\mathbb R^n$，其中 $a\lt b$。若 $\gamma(a)=\gamma(b)$，称曲线闭合。若

$$\gamma(t_1)\ne\gamma(t_2) \qquad a\le t_1\lt t_2\le b,$$

仅允许 $t_1=a$、$t_2=b$ 这一对的像相同，则称曲线简单。 简单闭曲线同时满足两个条件。

按此约定，端点不同的简单曲线是单射；简单闭曲线则只允许首尾这唯一一对 参数对应同一点。这个例外允许完整绕行一周，而不把首尾相接看作自交， 但不允许任何内部点被重复经过。定义讨论的是选定的参数化，不只是轨迹的外观。

例如沿圆绕两周，与绕一周有相同的圆形轨迹，但绕两周的参数曲线不简单。 闭合性只说终点等于起点，并没有限制中间发生什么。非退化闭区间上的常值曲线 闭合但不简单，因为许多不同的内部参数都有相同像。

指定方向的圆周运动

例题

逆时针完整绕行一周

对 $R>0$，定义

$$\gamma(t)=(R\cos t,R\sin t),\qquad 0\le t\le2\pi.$$

由 $\cos^2t+\sin^2t=1$，轨迹位于 $x^2+y^2=R^2$。反过来，圆上 每个点都有落在此区间内的极角，所以所有点都会经过。起点与终点都是 $(R,0)$，曲线闭合。

若两个参数给出相同坐标，它们的正弦与余弦都相同，因此参数差是 $2\pi$ 的整数倍。在此区间中，唯一可能的相异参数对是 $0,2\pi$。故按端点例外 的约定，曲线简单。从 $(R,0)$ 出发时它先进入上半平面；参数就是递增的 极角，因此运动方向是逆时针。

改变圆心，可得一般圆的参数化：

$$\gamma(t)=(h+R\cos t,k+R\sin t),\qquad 0\le t\le2\pi,$$

其中 $h,k\in\mathbb R$、$R>0$。减去圆心坐标后可知轨迹为 $(x-h)^2+(y-k)^2=R^2$。平移改变经过的点的位置，却不改变经过次序 或参数区间。半径为正排除了退化成常值曲线的情况；后者的简单性不同。

导数、速度向量与速率

定义

向量函数的导数

在参数区间的内部点 $t_0$，若以下向量极限存在，定义

$$\gamma'(t_0)=\lim_{h\to0}\frac{\gamma(t_0+h)-\gamma(t_0)}{h},$$

若 $t$ 表示时间，$\gamma'(t)$ 是速度向量，$\|\gamma'(t)\|$ 是速率。

极限中的 $h$ 非零，并要求两个参数都在定义域内。若需要在包含的端点处 求导，使用相应的单侧导数。本节说曲线可微，是指各内部点都有导数；若提及 端点导数，则按单侧理解。这样不会在闭区间上的公式中，暗中要求定义域外的值。

分子是位移，除以参数增量得到该段的平均速度，再取极限得到瞬时速度。 速率只保留速度向量的长度，没有正负或方向。若参数不是实际时间，这些量 表示每单位参数的变化；要把它解释为物理速度，必须另外说明参数的意义。

定理

逐分量求导

$\gamma$ 在 $t_0$ 的导数存在，当且仅当所有分量导数存在，此时

$$\gamma'(t_0)=(x_1'(t_0),\ldots,x_n'(t_0)),\qquad \|\gamma'(t_0)\|=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i'(t_0))^2}.$$

证明使用连续性部分的同一组范数界限，将它们用于差商向量减去候选极限向量。 向量极限存在，会迫使每个标量差商收敛到相应分量。反过来，若所有标量差商 都收敛，向量误差不超过最大分量误差的 $\sqrt n$ 倍，所以也趋于零。 这里分量个数有限很重要。速率公式随后由欧几里得范数定义得到。 同样的证明也适用于端点处的单侧极限。

对前面的圆，

$$\gamma'(t)=(-R\sin t,R\cos t),\qquad \|\gamma'(t)\|=R.$$

速度向量改变方向，但其范数不变。它与半径向量 $(R\cos t,R\sin t)$ 的点积为零，故沿圆的切向。$R$ 是这个特定参数选择下的速率，并不是圆形 点集本身固有的速率。

同一轨迹可以有不同速度

对 $\omega>0$，设

$$\xi(t)=(R\cos(\omega t),R\sin(\omega t)), \qquad 0\le t\le\frac{2\pi}{\omega}.$$

角度 $\omega t$ 从 $0$ 变到 $2\pi$，所以仍是逆时针恰好绕一周。 求导得

$$\xi'(t)=(-R\omega\sin(\omega t),R\omega\cos(\omega t)), \qquad \|\xi'(t)\|=R\omega.$$

对任意非零实数 $\omega$，改用区间 $[0,2\pi/|\omega|]$，速率便是 $R|\omega|$。负的 $\omega$ 使角度递减，从而反转方向。若 $\omega=0$， 得到常值映射而非完整圆周，此时上述绕行一周的区间也没有定义。

反例模式

圆形轨迹相同不代表参数曲线相同

比较 $[0,2\pi]$ 上的 $\gamma(t)=(R\cos t,R\sin t)$，与 $[0,\pi]$ 上的 $\xi(t)=(R\cos(2t),R\sin(2t))$。轨迹相同，但定义域 不同，速率分别为 $R$、$2R$。即使在共有的参数区间上，它们也不是同一 映射：$t=\pi/2$ 时分别取 $(0,R)$ 与 $(-R,0)$。因此像集相等弱于 参数曲线相等。

若第二个映射改用较大定义域 $[0,2\pi]$，便会绕两周。此时 $\xi(0)=\xi(\pi)$ 是简单性不允许的重复，因为 $\pi$ 是内部参数， 不是终点。定义域因此也控制绕行次数。

例题

从最高点开始的顺时针单位圆

要求起点与终点都是 $(0,1)$。可取

$$\eta(t)=(\sin t,\cos t),\qquad 0\le t\le2\pi.$$

它等于 $(\cos(\pi/2-t),\sin(\pi/2-t))$，因此极角从 $\pi/2$ 开始 递减一整周。两个端点都是 $(0,1)$，且

$$\eta'(t)=(\cos t,-\sin t),\qquad \|\eta'(t)\|=1.$$

在最高点，初始速度 $(1,0)$ 指向右方，确认运动为顺时针。若只是把通常 圆周公式的两个坐标同时取负，只会把起点移到对面，并不反转方向；应检查 角度怎样变化，而非只凭一个位置判断方向。

空间曲线：螺旋线

例题

圆周运动叠加竖直运动

对 $R,h>0$，定义空间曲线

$$\gamma(t)=(R\cos t,R\sin t,ht),\qquad t\in\mathbb R.$$

前两个分量始终位于 $x^2+y^2=R^2$，第三分量则线性增加。这是绕竖直轴 的螺旋线。参数增加 $2\pi$ 后，水平位置重复，但竖直坐标增加 $2\pi h$， 所以没有回到同一点。事实上，若两个曲线值相等，必有 $ht_1=ht_2$， 而 $h>0$ 迫使 $t_1=t_2$。

速度向量与速率为

$$\gamma'(t)=(-R\sin t,R\cos t,h),\qquad \|\gamma'(t)\|=\sqrt{R^2+h^2}.$$

水平与竖直速度分量垂直，故计算速率时平方相加。限制到任意非退化闭区间后， 端点不同且曲线简单。前面定义的闭合性是在这类闭参数区间上讨论的； 定义域 $\mathbb R$ 本身没有可供比较的起始与结束参数。

线段与图像也是向量函数

例题

连接两点的完整线段

设 $A,B\in\mathbb R^n$ 的位置向量为 $\mathbf a,\mathbf b$，则

$$\gamma(t)=\mathbf a+t(\mathbf b-\mathbf a) =(1-t)\mathbf a+t\mathbf b,\qquad 0\le t\le1$$

参数化了两点之间的线段。代入 $0,1$ 得到端点；整个区间内，两个权重都 非负且和为一。反过来，线段上每点都具有这种权重，因此整条线段都被覆盖。 其导数是 $\mathbf b-\mathbf a$，恒定速率为 $\|\mathbf b-\mathbf a\|$。

若 $A\ne B$，两个参数的像相等会给出 $(t_1-t_2)(\mathbf b-\mathbf a)=\mathbf0$，从而 $t_1=t_2$。 它是端点不同的简单曲线。若 $A=B$，则是闭合常值曲线，但在 $[0,1]$ 上 不简单。把参数延伸到全体实数，只有在非常值情形下才会得到整条直线。

若 $f:[a,b]\to\mathbb R$ 连续且 $a\lt b$，其图像可参数化为

$$\gamma(t)=(t,f(t)),\qquad t\in[a,b].$$

连续性由分量得到。每个图像点都在以其第一坐标为参数时出现，而不同参数的 第一坐标不同，所以曲线简单且端点不同。若 $f$ 在某内部点可微，则 $\gamma'(t)=(1,f'(t))$，速率为 $\sqrt{1+(f'(t))^2}$。 没有这个附加假设时，图像仍是连续曲线，但不能断言导数存在。

非常值曲线仍可能在某个参数处速度为零。例如 $[-1,1]$ 上的线段参数化 $\rho(t)=(t^3,2t^3)$，其导数是 $(3t^2,6t^2)$，在 $t=0$ 为零。 由于 $t^3$ 严格递增，这个映射非常值且为单射。因此瞬间静止本身并不表示 经过了重复点，也不表示整条曲线恒定。

快速检查

思考检查

把参数化换成轨迹时，会丢失什么信息？

比较函数与它的像集。

解答 · 答案

轨迹丢失时间安排、方向、经过次序与重复绕行的信息，只保留经过的点。

思考检查

标准圆周绕一周的参数化，首尾相同却仍然简单吗？

使用定义中精确的端点例外。

解答 · 答案

是。像相同的相异参数只有 $0$ 与 $2\pi$，正是允许的首尾参数对。 它既简单又闭合。

思考检查

某个参数处速率为零，会迫使整条曲线恒定吗？

检查三次线段参数化。

解答 · 答案

不会。$\rho(t)=(t^3,2t^3)$ 非常值，却有 $\rho'(0)=\mathbf0$。

练习

1. 描述 $[0,1]$ 上 $\gamma(t)=(t,2t)$ 的准确轨迹，并求速率。
2. 设 $R>0$，将圆 $(x-h)^2+(y-k)^2=R^2$ 从 $(h+R,k)$ 开始逆时针绕一周， 给出参数化，并求该参数选择下的速率。
3. 给出从 $(0,1)$ 开始并回到该点的顺时针单位圆参数化。
4. 对 $R>0$、$\omega\ne0$ 的 $\xi(t)=(R\cos(\omega t),R\sin(\omega t))$， 指定从非负时间开始、恰好绕一周的区间，并求速率。
5. 对 $R,h>0$ 的螺旋线，求绕一周的竖直上升量，并解释为何不同参数不可能 给出同一点。
6. 对相异两点 $A,B$，证明线段参数化为单射。
7. 说明 $f$ 满足什么假设时 $(t,f(t))$ 是曲线；再说明速度公式需要什么 附加假设。

引导解答

解答 · 参考解答 1

轨迹为 $\{(x,2x):0\le x\le1\}$。导数为 $(1,2)$，速率是 $\sqrt5$。

解答 · 参考解答 2

取 $(h+R\cos t,k+R\sin t)$，其中 $0\le t\le2\pi$。 导数为 $(-R\sin t,R\cos t)$，速率是 $R$。

解答 · 参考解答 3

取 $(\sin t,\cos t)$，其中 $0\le t\le2\pi$；极角 $\pi/2-t$ 递减，两端的值都是 $(0,1)$。

解答 · 参考解答 4

取 $[0,2\pi/|\omega|]$。求导得到速率 $R|\omega|$。 正的 $\omega$ 对应逆时针，负的 $\omega$ 对应顺时针。

解答 · 参考解答 5

上升量是 $2\pi h$。位置相等推出 $ht_1=ht_2$，除以非零的 $h$ 得 $t_1=t_2$。

解答 · 参考解答 6

将相同的曲线值相减，得 $(t_1-t_2)(\mathbf b-\mathbf a)=\mathbf0$。 $\mathbf b-\mathbf a$ 至少一个分量非零，所以乘在它前面的标量必须为零。

解答 · 参考解答 7

$f$ 在区间上连续，则两个分量都连续。在内部点可微，就在那里给出速度 $(1,f'(t))$；包含的端点处，导数断言须使用相应的单侧导数。