11.1 抛物线：焦点、准线、切线与法线

动机

抛物线可以先由距离关系定义，再写成方程。几何定义解释了为什么会出现特定的二次式， 也解释了平移或改变朝向为何仍得到同类曲线。参数表示随后把切线、法线问题变成一元方程， 实根的数目及是否相异都有直接的几何意义。

这些论证中有几个容易忽略的要求：距离等式平方后须证明逆向成立，斜率公式可能漏掉竖直切线， 而轨迹计算必须说明每个声称属于轨迹的点确实能够取得。消去参数得到一个方程， 本身并不自动完成整个几何证明。

焦点、准线与标准方程

定义

抛物线的焦点准线定义

设平面内固定点 $F$ 不在固定的真正直线 $D$ 上。 离心率为 $e\gt0$ 的焦点准线条件是 $\operatorname{dist}(X,F)=e\operatorname{dist}(X,D)$。 $F$ 称为焦点，$D$ 称为准线。抛物线对应 $e=1$，即两个距离相等。

点到直线的距离是垂直距离，不是到线上任意一点的距离。 由于 $F\notin D$，满足条件的点不可能在 $D$ 上；否则它到 $F$ 的距离也为零，产生矛盾。 因此轨迹上的距离比有定义。准线须有非零法向量，不能用空集或整个平面代替。

取通过 $F$ 且垂直于 $D$ 的方向为横轴，并以 $F$ 与其在 $D$ 上的垂足之间的中点为原点。 于是可写 $F=(a,0)$、$D:x=-a$，其中 $a\gt0$。焦点到准线的距离是 $2a$， 正值条件记录了两者不重合。

概念视角几何

方程记录的是两个距离相等

对于 $X=(x,y)$，到焦点的距离为 $\sqrt{(x-a)^2+y^2}$，到竖直准线的距离为 $|x+a|$。 前者测量点到点的位移，后者只测量到达直线所需的水平分量。 把这两种不同的几何测量设为相等，便得到抛物线方程。

原点到焦点与准线的距离都是 $a$，所以在轨迹上。下述方程还会说明所有点满足 $x\ge0$， 原点因此是顶点，横轴是对称轴。

定理

焦点准线条件与抛物线方程等价

设 $a\gt0$、$F=(a,0)$、$D:x=-a$。点 $X=(x,y)$ 到 $F,D$ 的距离相等，当且仅当

$$y^2=4ax.$$

由距离相等，

$$\sqrt{(x-a)^2+y^2}=|x+a| \quad\Longrightarrow\quad (x-a)^2+y^2=(x+a)^2 \quad\Longrightarrow\quad y^2=4ax.$$

反过来，若 $y^2=4ax$，由 $a\gt0$ 得 $x\ge0$。代入可得 $(x-a)^2+y^2=(x+a)^2$，取非负平方根即恢复 $\sqrt{(x-a)^2+y^2}=|x+a|$，且此时 $x+a\gt0$。 所以平方没有引入多余的点。由方程也能看出 $y\mapsto-y$ 的对称性，以及 $x=0$ 时只有原点。

平移后的方程 $(y-k)^2=4a(x-h)$，顶点为 $(h,k)$，焦点为 $(h+a,k)$，准线为 $x=h-a$。 若右边改成 $-4a(x-h)$，开口反向，焦点为 $(h-a,k)$，准线为 $x=h+a$。 交换坐标得到向上开口的 $(x-h)^2=4a(y-k)$，焦点为 $(h,k+a)$，准线为 $y=k-a$； 向下开口时右边带负号，焦点为 $(h,k-a)$，准线为 $y=k+a$。 这里始终保留 $a\gt0$，用方程中的符号区分朝向。

t = 1

P = (1, 2); PF = PD = 2

对 $y^2=4x$，焦点为 $F=(1,0)$，准线为 $x=-1$。点 $P=(t^2,2t)$ 满足 $PF=PD=t^2+1$，其中 $D$ 是准线上的垂足。细虚线是切线 $x-ty+t^2=0$。当 $t=0$，切线为竖直线 $x=0$。

参数、切线与法线

标准抛物线的每个点都能唯一写成

$$P(t)=(at^2,2at),\qquad t\in\mathbb R.$$

代入即可验证点在曲线上。反过来，对曲线上任一点 $(x,y)$，取 $t=y/(2a)$，则 $at^2=y^2/(4a)=x$。因此参数既不遗漏顶点，也不会重复表示同一点。

定理

对每个实参数成立的切线与法线方程

在 $P(t)=(at^2,2at)$ 处，切线与法线分别为

$$x-ty+at^2=0,\qquad tx+y-2at-at^3=0.$$

它们适用于所有 $t\in\mathbb R$，包括 $t=0$。

对参数表示求导，得到 $P'(t)=(2at,2a)$。由于 $a\gt0$，导向量永不为零， 故 $(t,1)$ 是切向量，$(1,-t)$ 是与其垂直的法向量。 切线满足 $(1,-t)\cdot((x,y)-P(t))=0$，展开便得第一式。 通过同一点的法线以 $(t,1)$ 为法向量，展开其点法式便得第二式。

若 $t\ne0$，切线斜率为 $1/t$，法线斜率为 $-t$。 在 $t=0$，切线为 $x=0$，法线为 $y=0$。斜率公式不能使用时，直线方程仍然有效。 对于切点 $(x_0,y_0)$，等价形式为

$$y_0y=2a(x+x_0),\qquad y_0(x-x_0)+2a(y-y_0)=0.$$

代入 $x_0=at^2,y_0=2at$ 即可得到这些式子；它们同样包括顶点。

例题

平移几何对象并保留顶点处的切线

对 $(y+2)^2=8(x-3)$，有 $a=2$，顶点为 $(3,-2)$，焦点为 $(5,-2)$，准线为 $x=1$。 参数表示为 $(3+2t^2,-2+4t)$，导数为 $(4t,4)$。 在 $t=0$，切向量竖直，因此切线是 $x=3$，垂直的法线是 $y=-2$。 这里不存在有限的切线斜率，但曲线及两条直线都仍然有定义。

过一点的切线与切点弦

参数 $t$ 处的切线通过 $H=(h,k)$，当且仅当

$$at^2-kt+h=0.$$

由于 $a\gt0$，这是一个真正的二次方程。判别式 $\Delta=k^2-4ah$ 决定实切点参数的数量： 两个相异实根给出两条切线，重根给出一条切线，没有实根则没有实切线。 相异参数确实对应不同直线，因为标准化后的切线方程中 $y$ 的系数为 $-t$。 当 $\Delta=0$，点本身满足 $k^2=4ah$，就在抛物线上。

现设 $\Delta\gt0$，把此处的外点理解为能引出两条不同切线的点。 若切点为 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$，将 $H$ 代入两个切线方程，得到 $2a(h+x_i)-ky_i=0$，所以连接两个切点的切点弦为

$$2a(x+h)-ky=0.$$

其 $x$ 系数为 $2a\ne0$，故确实是一条直线；它经过两个相异切点，所以唯一确定。 推导无需除以 $k$；当 $k=0$，它就是竖直线 $x=-h$。 若没有两个相异切点，即使仍能写出这个线性式，也不能据此声称已经构造了切点弦。

例题

通过外点的两条切线

对 $y^2=4x$ 及 $H=(-2,1)$，参数方程为 $t^2-t-2=(t-2)(t+1)=0$。切点参数为 $2,-1$，切线为

$$x-2y+4=0,\qquad x+y+1=0.$$

切点分别是 $(4,4)$、$(1,-2)$。两条切线都通过 $(-2,1)$，切点弦为 $2x-y-4=0$。 代入两个切点即可核对；这条弦连接两个切点，与任一切线都不同。

向焦点反射

考虑沿轴线平行方向射向抛物线的光，其单位入射方向为 $d=(-1,0)$。 在 $P(t)$ 处关于切线反射时，方向的切向分量不变，法向分量反号。 这种向量描述无需分别讨论切线或反射光线竖直的特殊情况。

证明: 反转法向分量，不必除以斜率

法向量与合法分母。 切线的一个法向量是 $n=(1,-t)$， 所以对所有实数 $t$，$\|n\|^2=1+t^2\gt0$。 入射方向的法向分量为 $((d\cdot n)/\|n\|^2)n$。

反射步骤。 要把该分量反号，就减去它的两倍：

$$d_{\mathrm{out}} =d-2\frac{d\cdot n}{\|n\|^2}n =\frac{(1-t^2,-2t)}{1+t^2}.$$

目标方向。 对 $F=(a,0)$，

$$F-P(t)=a(1-t^2,-2t),\qquad \|F-P(t)\|=a(1+t^2).$$

因此 $d_{\mathrm{out}}=(F-P(t))/\|F-P(t)\|$：反射光确实朝向焦点， 而不只是沿着一条不区分正反方向、经过焦点的直线。

边界核对。 $t=0$ 时射出方向为 $(1,0)$；$t=1$ 时为 $(0,-1)$；$t=-1$ 时为 $(0,1)$。 同一计算覆盖三种情形，不会像某些斜率推导那样除以可能为零的 $t$ 或 $t^2-1$。

垂直位置向量产生的中点轨迹

设 $O=(0,0)$，相异切点 $A=P(t_1)$、$B=P(t_2)$ 满足 $\angle AOB=\pi/2$。 两个切点都必须不同于 $O$，所以 $t_1t_2\ne0$。令 $s=t_1+t_2$、$p=t_1t_2$，点积给出

$$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} =a^2t_1t_2(t_1t_2+4)=a^2p(p+4)=0.$$

因为 $p\ne0$，必有 $p=-4$。若接受另一因子 $p=0$，就会把零位置向量处没有定义的夹角也包括进来。

例题

消去参数并证明完整的中点轨迹

令 $T$ 为 $A,B$ 处两条切线的交点，$N$ 为两条法线的交点。 由于 $p=-4$，参数相异。两切线方程相减得 $(t_1-t_2)y=a(t_1^2-t_2^2)$，除以非零差得到 $y=as$，再代回得到

$$T=(ap,as)=(-4a,as).$$

同样将法线方程相减，可得 $x=a(2+t_1^2+t_1t_2+t_2^2)=a(2+s^2-p)$，代回任一法线得 $y=-aps$。 因此

$$N=(a(s^2+6),4as),\qquad M=\frac{T+N}{2}=\left(a+\frac a2s^2,\frac{5a}{2}s\right).$$

消去 $s$ 得

$$y^2=\frac{25a}{2}(x-a).$$

这只先证明了构造出的中点都在该抛物线上。反过来，取其上任意一点，令 $s=2y/(5a)$。 方程 $z^2-sz-4=0$ 的判别式为 $s^2+16\gt0$，因此给出相异、非零的两个实参数， 它们的和为 $s$、积为 $-4$。对应位置向量非零且正交，构造出的中点恰好就是给定点。 所以轨迹是整条抛物线，而不只是它的一个子集。

三条法线与固定重心

定理

存在三个相异实法线切点时的重心

固定 $a\gt0$ 及实数 $h$。对点 $H=(h,k)$，假设有三个相异实切点参数 $t_1,t_2,t_3$，其对应法线都通过 $H$。三个切点的重心为

$$G=\left(\frac{2(h-2a)}3,0\right).$$

因此，当 $k$ 在满足上述三切点条件的位置之间变化时，重心保持不变。

把 $H$ 代入法线方程，得到

$$at^3+(2a-h)t-k=0.$$

它的根是切点参数，不是给定点的坐标。在定理假设下，三个实根相异。由 Vieta 关系，

$$\sum_i t_i=0,\qquad \sum_{i\lt j}t_it_j=\frac{2a-h}{a},\qquad \sum_i t_i^2=\left(\sum_i t_i\right)^2-2\sum_{i\lt j}t_it_j =\frac{2(h-2a)}a.$$

将坐标 $(at_i^2,2at_i)$ 分别平均，即得所述重心。 三个相异切点并不共线：若真正直线 $Ax+By+C=0$ 经过三点，代入参数便使三个参数 都是 $Aa t^2+2aBt+C$ 的根。此多项式次数至多为二，又因直线系数不全为零而不恒为零， 不可能有三个相异根。因此切点确实构成三角形，而不是退化的三点配置。

$k$ 只影响三次式的常数项，不影响这两个对称和，所以重心只依赖 $h$。 存在条件不能省略：实三次式未必有三个相异实根。 即使复根或重根仍满足代数恒等式，也不能把它们当作三个相异的实切点。

例题

一个有效的三法线配置及其条件限制

取 $h=3a$、$k=0$。法线方程为 $at(t^2-1)=0$，给出 $t=-1,0,1$。 切点为 $(a,-2a),(0,0),(a,2a)$，重心为 $(2a/3,0)$，与定理一致。 三条法线方向不同，且都通过 $(3a,0)$。这里允许顶点作为切点， 因为与前面的直角位置向量问题不同，本构造不要求从 $O$ 到该切点的向量形成夹角。

若 $h=0,k=0$，方程为 $at(t^2+2)=0$，只有一个实根，因而没有三个实切点形成的三角形。 重心结论不能应用于这种情况，也没有断言竖直线上每个点都能引出三条法线。

快速检查

思考检查

Q1. 为什么这里把焦点准线等式平方后，仍得到等价的轨迹？

检查逆向推理，以及平方相等的两个量的符号。

解答 · 快速检查 Q1

由 $y^2=4ax$、$a\gt0$ 得 $x\ge0$，且 $(x-a)^2+y^2=(x+a)^2$。 取非负平方根恢复两个距离，其中 $|x+a|=x+a\gt0$。

思考检查

Q2. 顶点处的切线竖直，是否意味着法线公式也失效？

使用直线方程，不要除以斜率。

解答 · 快速检查 Q2

不是。$t=0$ 时切线为 $x=0$，法线为 $y=0$。 导向量 $(0,2a)$ 非零，所以切向方向仍有定义。

总结

保留距离符号与 $a\gt0$ 后，焦点准线条件与 $y^2=4ax$ 等价。 正则参数表示给出包括顶点在内的切线、法线方程。切线数目由二次式的实根决定， 反射性质由法向分量反号得到。对于轨迹及重心问题，实切点条件、退化情形的排除， 以及反向构造共同决定结论的适用范围。

练习

1. 对 $(x-1)^2=-12(y+2)$，指出顶点、焦点、准线，以及顶点处的切线和法线。
2. 求从 $H=(-a,0)$ 到 $y^2=4ax$ 的两条切线及切点弦。 保留 $a\gt0$，不要除以 $H$ 的第二个坐标。
3. 在垂直位置向量构造中，取 $t_1=2$、$t_2=-2$。 计算 $A,B,T,N,M$，并验证直角条件。
4. 假设经过 $(4a,k)$ 的三个相异实法线切点存在，求其重心，并准确解释这个假设的作用。

引导解答

解答 · 解答 1

这里 $a=3$，开口向下，顶点为 $(1,-2)$，焦点为 $(1,-5)$，准线为 $y=1$。 顶点处的切线为 $y=-2$，法线为 $x=1$。

解答 · 解答 2

参数方程为 $at^2-a=0$，所以 $t=1,-1$。 切线为 $x-y+a=0$、$x+y+a=0$，切点为 $(a,2a)$、$(a,-2a)$。 切点弦为 $2a(x-a)=0$，即 $x=a$。

解答 · 解答 3

$A=(4a,4a)$、$B=(4a,-4a)$ 都非零，且点积为 $16a^2-16a^2=0$。 此时 $s=0,p=-4$，所以 $T=(-4a,0)$、$N=(6a,0)$、$M=(a,0)$，即中点轨迹的顶点。

解答 · 解答 4

重心为 $(4a/3,0)$。假设提供三个相异实切点参数，才能把 Vieta 和解释成三个切点的几何重心。 不能仅凭点位于 $x=4a$ 就应用结论；不产生三个这样切点的 $k$ 值不在断言范围内。