9.2 叉积、标量三重积与向量几何

从标量积到有向法向量

点积衡量两个向量在同一方向上的分量关系，输出是标量。在三维几何中，我们 还需要一种运算，产生同时垂直于两个给定方向的向量。这样的向量能指定它们 所在平面的法向方向，其长度还可以记录所张成的面积。叉积同时提供这两类信息。

本节所有向量都属于 $\mathbb R^3$。采用标准右手正交单位基 $\mathbf i=(1,0,0)$、$\mathbf j=(0,1,0)$、$\mathbf k=(0,0,1)$。 $\|\mathbf u\|$ 表示长度，$\mathbf0$ 表示零向量。这里定义的叉积是 三维运算，这个坐标公式并不是任意 $\mathbb R^n$ 中叉积的定义。 与点积不同，叉积还必须保留输入的次序。

定义与坐标公式

定义

三维空间中的叉积

对 $\mathbf u=(u_1,u_2,u_3)$ 和 $\mathbf v=(v_1,v_2,v_3)$，定义

$$\mathbf u\times\mathbf v =(u_2v_3-u_3v_2,\ u_3v_1-u_1v_3,\ u_1v_2-u_2v_1).$$

结果是向量，不是标量。计算时可用以下展开记号帮助记忆：

$$\mathbf u\times\mathbf v= \begin{vmatrix} \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ u_1&u_2&u_3\\ v_1&v_2&v_3 \end{vmatrix}.$$

沿第一行展开时，符号依次是正、负、正。特别是中间分量为 $-(u_1v_3-u_3v_1)$，忘记这个负号会改变答案。第一行含基向量的数组只是 坐标公式的简写；稍后各项都是实数时，才出现通常的标量行列式。

公式给出 $\mathbf i\times\mathbf j=\mathbf k$、 $\mathbf j\times\mathbf k=\mathbf i$、$\mathbf k\times\mathbf i=\mathbf j$。 每个基向量与自身的叉积都是 $\mathbf0$。这些等式固定了本节采用的正向约定。

例题

计算叉积并检查结果

取 $\mathbf u=\mathbf i+2\mathbf k=(1,0,2)$、 $\mathbf v=2\mathbf i-3\mathbf j+\mathbf k=(2,-3,1)$。则

$$\begin{aligned} \mathbf u\times\mathbf v &=(0\cdot1-2(-3),\ 2\cdot2-1\cdot1,\ 1(-3)-0\cdot2)\\ &=(6,3,-3). \end{aligned}$$

检查它与两个输入的点积：

$$(6,3,-3)\cdot(1,0,2)=6-6=0, \qquad (6,3,-3)\cdot(2,-3,1)=12-9-3=0.$$

两者均为零，符合法向量的要求。这项检查能发现部分符号错误，但仅凭垂直性 不能确定所需长度，也不能在两个相反的法向方向中作出选择。

代数规则及其证明

定理

叉积的代数性质

对 $\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w\in\mathbb R^3$ 和 $t\in\mathbb R$，

$$\begin{aligned} \mathbf u\times\mathbf v&=-\mathbf v\times\mathbf u,\\ \mathbf u\times(\mathbf v+\mathbf w) &=\mathbf u\times\mathbf v+\mathbf u\times\mathbf w,\\ (t\mathbf u)\times\mathbf v &=\mathbf u\times(t\mathbf v)=t(\mathbf u\times\mathbf v). \end{aligned}$$

交换输入会使每个坐标差变号。例如 $v_2u_3-v_3u_2=-(u_2v_3-u_3v_2)$，其余两坐标相同处理，便证明了 反交换律。对于分配律，左边第一坐标展开为

$$u_2(v_3+w_3)-u_3(v_2+w_2) =(u_2v_3-u_3v_2)+(u_2w_3-u_3w_2).$$

第二、第三坐标作同样展开，便得到向量等式。标量乘在任一输入上，都可以从 每个坐标差中提出，因此最后一条在 $t=0$ 时也成立。第一输入的分配律可由 反转次序、对第二输入分配、再反转次序得到。这样是从坐标定义证明规则， 并没有先从几何图像假设这些规则成立。

反例模式

叉积不满足交换律

看似自然的断言 $\mathbf u\times\mathbf v=\mathbf v\times\mathbf u$ 在 $\mathbf u=\mathbf i$、$\mathbf v=\mathbf j$ 时就失败了： 两个结果分别是 $\mathbf k$ 与 $-\mathbf k$。正确规则带有负号。 颠倒输入次序保持面积，但使有向法向量反向。只有叉积为 $\mathbf0$ 时， 两种次序的结果才相同，因为实向量若等于自身的相反向量，就必须为零。

垂直性、长度与方向

定理

叉积的几何意义

$\mathbf u\times\mathbf v$ 同时垂直于两个输入。若两个输入都非零， 设夹角 $\theta\in[0,\pi]$，则

$$\|\mathbf u\times\mathbf v\|=\|\mathbf u\|\|\mathbf v\|\sin\theta.$$

若两者不平行，其方向是由 $\mathbf u$ 转向 $\mathbf v$ 的右手法向方向。 若任一输入为零，或两个非零输入平行，则叉积为 $\mathbf0$。

垂直性可直接由消项证明：

$$\begin{aligned} \mathbf u\cdot(\mathbf u\times\mathbf v) &=u_1u_2v_3-u_1u_3v_2+u_2u_3v_1-u_1u_2v_3 +u_1u_3v_2-u_2u_3v_1\\ &=0. \end{aligned}$$

交换输入并使用反交换律，也得到它垂直于 $\mathbf v$。为验证长度， 展开平方可得

$$\begin{aligned} \|\mathbf u\times\mathbf v\|^2 &=(u_2v_3-u_3v_2)^2+(u_3v_1-u_1v_3)^2+(u_1v_2-u_2v_1)^2\\ &=(u_1^2+u_2^2+u_3^2)(v_1^2+v_2^2+v_3^2) -(u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3)^2. \end{aligned}$$

右边相减后，对应的对角平方项消去；剩余平方项与交叉项，恰好组成三个 坐标差的平方。输入非零时，代入 $\mathbf u\cdot\mathbf v=\|\mathbf u\|\|\mathbf v\|\cos\theta$。 由于规定区间内 $\sin\theta\ge0$，取非负平方根便得到长度公式。

坐标约定选择右手规则：右手手指沿两向量的夹角由第一个向量弯向第二个， 拇指所指就是法向方向。基向量的关系 $\mathbf i\times\mathbf j=\mathbf k$ 固定了哪一种方向为正。输入为零或平行时，没有非零叉积方向可选；我们也不为 零向量定义夹角。对非零输入，长度为零恰好发生在 $\theta=0$ 或 $\theta=\pi$。

例题

从同一次计算读出面积和单位法向量

前例中 $\mathbf u\times\mathbf v=(6,3,-3)$，所以

$$\|\mathbf u\times\mathbf v\|=\sqrt{36+9+9}=3\sqrt6.$$

两向量所张成的平行四边形面积就是此值：底长为 $\|\mathbf u\|$， 垂直高度为 $\|\mathbf v\|\sin\theta$。它们所张成的三角形面积为一半， 即 $3\sqrt6/2$。有序输入选择单位法向量

$$\widehat{\mathbf n}=\frac{(6,3,-3)}{3\sqrt6} =\frac{(2,1,-1)}{\sqrt6}.$$

相反向量也是该平面的单位法向量，但对应反转输入次序。这里算出的长度非零， 所以可以除以叉积的范数；退化情形则不能这样归一化。

标量三重积与行列式

定义

标量三重积

三个 $\mathbb R^3$ 向量的标量三重积定义为

$$[\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w]=(\mathbf u\times\mathbf v)\cdot\mathbf w.$$

先计算叉积，其输出为向量；最后再作点积，输出便是实标量。

代入叉积坐标公式，得到

$$\begin{aligned} [\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w] &=(u_2v_3-u_3v_2)w_1-(u_1v_3-u_3v_1)w_2 +(u_1v_2-u_2v_1)w_3\\ &=\begin{vmatrix}u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\\w_1&w_2&w_3\end{vmatrix}. \end{aligned}$$

最后一个等号是沿行列式第三行展开。因此循环置换三个向量会保持三重积， 交换任意两个向量则会改变符号。循环置换相当于交换两次行，两个负号抵消。 行的次序必须与几何解释中采用的向量次序相符。

定理

有向体积与普通体积

标量三重积是有序向量所张成的平行六面体的有向体积，其普通体积为

$$V=|[\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w]|.$$

三重积为零，当且仅当三个向量位于同一个过原点的平面内，包括所有退化情形。

若 $\mathbf u\times\mathbf v\ne\mathbf0$，取其单位法向量 $\widehat{\mathbf n}$。标量 $h=\widehat{\mathbf n}\cdot\mathbf w$ 是相对于底面的有向高度。因此

$$[\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w] =\|\mathbf u\times\mathbf v\|h.$$

底面积乘有向高度就证明了有向体积公式。普通高度是 $|h|$，所以普通体积 须取绝对值。若 $\mathbf w$ 非零，设它与选定法向量的夹角为 $\alpha$， 则 $h=\|\mathbf w\|\cos\alpha$。当 $\pi/2\lt\alpha\le\pi$ 时高度为负。 若 $\mathbf w=\mathbf0$，直接知道高度是零，不必定义夹角。

底面非退化时，高度为零恰好表示 $\mathbf w$ 位于底面内。若底面的叉积为零， 面积与三重积都为零；前两个向量至多张成一条直线，加上第三个向量后，三者 仍可放在同一个平面内。此时无须构造单位法向量。

概念视角几何

行列式同时衡量底面积与高度

固定前两行，它们的叉积记录有向底面积。再与第三行作点积，只保留第三个 向量的法向分量：在底面方向内移动第三个向量，不会改变体积。因此行列式 用一个标量结合面积与有向高度。绝对值忽略方向，而叉积本身则保留选定的 法向方向。这也解释了为何改变第三个向量的长度，并不一定改变体积：真正 参与计算的是它在法向方向上的投影。

例题

用明确坐标描述边长为二的立方体

选取立方体顶点 $A=(0,0,0)$、$B=(2,0,0)$、$D=(0,2,0)$、 $C=(2,2,0)$、$E=(0,0,2)$。于是 $ABCD$ 是底面正方形，$E$ 在 $A$ 的正上方。则

$$\overrightarrow{AB}=(2,0,0),\quad \overrightarrow{AD}=(0,2,0),\quad \overrightarrow{CE}=(-2,-2,2).$$

前两个向量的叉积为 $(0,0,4)$，所以

$$(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD})\cdot\overrightarrow{CE} =(0,0,4)\cdot(-2,-2,2)=8.$$

$\overrightarrow{CE}$ 的水平分量没有贡献；其有向竖直高度为 $2$， 底面积为 $4$。若反转 $AB$、$AD$ 的次序，有向结果变成 $-8$， 普通体积仍是 $8$。

先把几何图形翻译成向量

面对图形，先用终点坐标减去起点坐标，把有向线段化为向量。次序是题目数据 的一部分：$\overrightarrow{CE}=E-C$，而 $\overrightarrow{EC}=C-E$。 底面向量 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$ 已经共用起点； $\overrightarrow{CE}$ 也可以保持分量不变，将起点移到同一位置来画。 体积公式讨论的是这三个向量所张成的平行六面体，并不要求原图的三支箭头 都从同一个立方体顶点出发。

立方体例题中的水平位移没有影响，也有直接的代数理由。设 $\mathbf n=\mathbf u\times\mathbf v$。对任意实数 $s,t$，由垂直性有

$$\mathbf n\cdot(\mathbf w+s\mathbf u+t\mathbf v) =\mathbf n\cdot\mathbf w+s\mathbf n\cdot\mathbf u+t\mathbf n\cdot\mathbf v =\mathbf n\cdot\mathbf w.$$

因此，沿底面方向滑动第三个向量的终点，不会改变有向高度与三重积。 这个结论来自完整的向量恒等式，对每组实系数都成立，不限于例题中立方体的 特定坐标。

常见错误

斜线段的长度不是垂直高度

立方体例题中 $\|\overrightarrow{CE}\|=2\sqrt3$，但到底面平面的高度是 $2$。若将底面积 $4$ 乘以斜线段长度，就得到错误的体积 $8\sqrt3$。 与单位法向量作点积，正是补上所缺的投影操作。只有第三向量垂直于底面时， 才可用其全长作为高度；若要求普通体积而非有向体积，还须取绝对值。 有向答案为负表示方向，并不表示空间大小是负数。

在长度约束下使行列式最大

例题

同时找出上界与取等条件

设 $\mathbf a=(1,2,3)$、$\mathbf b=(3,2,1)$，且 $\mathbf c=(x,y,z)$ 满足 $\|\mathbf c\|=\sqrt6$。计算得

$$\mathbf a\times\mathbf b=(-4,8,-4),\qquad \|\mathbf a\times\mathbf b\|=4\sqrt6.$$

把行列式写成三重积：

$$D=\begin{vmatrix}1&2&3\\3&2&1\\x&y&z\end{vmatrix} =(-4,8,-4)\cdot\mathbf c.$$

若 $\alpha$ 是非零法向量 $(-4,8,-4)$ 与 $\mathbf c$ 的夹角， 则 $D=24\cos\alpha$，因此 $|D|\le24$。有向值的最大值 $D=24$ 发生在两向量同向时。再用长度条件确定

$$\mathbf c=\frac{\sqrt6}{4\sqrt6}(-4,8,-4)=(-1,2,-1).$$

此向量的范数平方为 $1+4+1=6$，代入行列式得到 $4+16+4=24$。 它的相反向量给出 $D=-24$。所以最大绝对值是 $24$，恰在 $\mathbf c=\pm(-1,2,-1)$ 取得。若只证明一个上界而没有给出取到该值的 向量，还不能断言这个最大值确实能达到。

快速检查

思考检查

叉积与标量三重积的输出分别是什么类型？

依次追踪每个运算的输出。

解答 · 答案

叉积是 $\mathbb R^3$ 中的向量，再与第三个向量作点积，就得到实标量。

思考检查

叉积为零是否表示至少一个输入为零？

考虑同一直线上的两个非零向量。

解答 · 答案

不是。例如 $\mathbf i\times(2\mathbf i)=\mathbf0$，两输入都非零且平行。 当然，任一输入为零也会使叉积为零。

思考检查

交换三重积行列式的前两行会改变什么？

区分有向体积与普通体积。

解答 · 答案

有向三重积改变符号，绝对值保持不变，所以普通体积也不变。

练习

1. 反转次序，重新计算 $(1,0,2)$ 与 $(2,-3,1)$ 的叉积。
2. 用分配律计算 $(\mathbf i+\mathbf j)\times\mathbf k$。
3. 对 $\mathbf u=(1,0,2)$、$\mathbf v=(2,-3,1)$，求所张平行四边形的 面积，以及所在平面的两个单位法向量。
4. 在指定的立方体中，把 $\overrightarrow{CE}$ 改成 $\overrightarrow{EC}$， 求有向三重积与普通体积。
5. 证明：对每个实数 $t$，把第三个向量改成 $\mathbf w+t\mathbf u$， 不会改变 $[\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w]$。
6. 在行列式例题的长度约束下，求最小有向值、最大有向值，以及所有使绝对值 达到最大的向量。

引导解答

解答 · 参考解答 1

由反交换律得到 $(-6,-3,3)$，是原本结果的相反向量。

解答 · 参考解答 2

$\mathbf i\times\mathbf k+\mathbf j\times\mathbf k =-\mathbf j+\mathbf i=(1,-1,0)$。

解答 · 参考解答 3

面积为 $\|(6,3,-3)\|=3\sqrt6$。除以非零范数，得到单位法向量 $\pm(2,1,-1)/\sqrt6$。

解答 · 参考解答 4

$\overrightarrow{EC}=(2,2,-2)$，所以 $(0,0,4)\cdot(2,2,-2)=-8$。 普通体积为 $|-8|=8$。

解答 · 参考解答 5

由点积分配律， $[\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w+t\mathbf u] =[\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w]+t(\mathbf u\times\mathbf v)\cdot\mathbf u$。 最后一项因垂直性而为零，退化底面也成立。

解答 · 参考解答 6

范围是 $-24\le D\le24$。最小值在 $(1,-2,1)$ 取得，最大值在 $(-1,2,-1)$ 取得。这两个向量恰好是 $|D|$ 的全部最大值点， 因为 $|\cos\alpha|=1$ 要求平行方向。