7.2 有理數與無理數

為何有理數仍然不夠

整數對加法、減法與乘法封閉，但對除法不封閉。為了解

$$3x=2$$

這類方程，我們把數系由 $\mathbb Z$ 擴大到有理數 $\mathbb Q$。這個擴大非常有用：它容許分數，對四則運算穩定，並且仍然透過分子與分母保留整數整除的資訊。

可是，即使 $\mathbb Q$ 也不足以包含所有熟悉方程的解。例如

$$x^2=2$$

在實數中有非負解 $\sqrt2$，但這個解不是有理數。本節的目標是把這個差異說清楚：先整理有理數的運算封閉性，再用質數整除證明某些根式不可能是有理數。

有理數與無理數

條件 $n\ne0$ 不能省略，因為除以零沒有定義。有理數表示也不唯一：

$$\frac12=\frac24=\frac{-3}{-6}.$$

要證明一個數是有理數，只需給出一個合法分數表示；要證明一個數是無理數，就要證明不存在任何這樣的分數表示。

在無理性證明中，我們常把正有理數寫成最低項：

$$x=\frac ab,\qquad a,b\in\mathbb Z^+,\quad \gcd(a,b)=1.$$

條件 $\gcd(a,b)=1$ 表示所有共同因數都已消去。很多證明會先假設存在這樣的最低項表示，再推出同一個質數同時整除 a 和 b，從而矛盾。

有理數的封閉性

設

$$x=\frac mn,\qquad y=\frac pq,$$

其中 $m,n,p,q\in\mathbb Z$ 且 $n\ne0$、$q\ne0$。則

$$x+y=\frac{mq+np}{nq},\qquad x-y=\frac{mq-np}{nq},\qquad xy=\frac{mp}{nq}.$$

這些式子的分子與分母都是整數，而且分母 nq 非零，所以三個結果都是有理數。

若 $y\ne0$，由 $y=p/q$ 可知 $p\ne0$。因此

$$\frac xy=\frac{m/n}{p/q}=\frac{mq}{np},$$

而 $np\ne0$，所以 $x/y$ 也是有理數。

例如 $\sqrt2$ 是無理數，但

$$\sqrt2+(-\sqrt2)=0$$

是有理數，而且

$$\sqrt2\cdot\sqrt2=2$$

也是有理數。無理數只是「不在 $\mathbb Q$ 中」的實數，不是一個對通常四則運算封閉的獨立數系。

非負 n 次根

「非負」二字很重要。對平方根而言，3 和 $-3$ 都滿足 $x^2=9$，但只有 3 是非負平方根，所以

$$\sqrt9=3,$$

不是 $\pm3$。在本節中，$\sqrt[n]{a}$ 指的是非負實數 a 的唯一非負 n 次根。

這裡把 $\sqrt[n]{a}$ 的存在性當作實數中的事實記錄；完整證明屬於後續分析課程。本節使用這個記號來研究另一個問題：這些根何時是有理數？

$\sqrt2$ 的無理性

第一個重要例子是經典命題：$\sqrt2$ 不是有理數。證明會用到整除章節中的 Euclid 引理：

$$p\mid ab\quad\Longrightarrow\quad p\mid a\text{ or }p\mid b$$

其中 p 是質數。特別地，若質數 p 整除 $a^2$，則 p 整除 a。

反設 $\sqrt2$ 是有理數。因為它為正，可寫成最低項

$$\sqrt2=\frac ab,$$

其中 $a,b\in\mathbb Z^+$ 且 $\gcd(a,b)=1$。兩邊平方得

$$2=\frac{a^2}{b^2}, \qquad\text{所以}\qquad 2b^2=a^2.$$

因此 $2\mid a^2$。由於 2 是質數，Euclid 引理推出 $2\mid a$。設 $a=2c$，其中 $c\in\mathbb Z^+$。代回 $2b^2=a^2$ 得

$$2b^2=(2c)^2=4c^2.$$

兩邊除以 2：

$$b^2=2c^2.$$

所以 $2\mid b^2$，再次由 Euclid 引理得 $2\mid b$。這表示 2 同時整除 a 和 b，與 $\gcd(a,b)=1$ 矛盾。

因此 $\sqrt2$ 不可能是有理數。

這個例子說明：在有理數係數下，1 與 $\sqrt3$ 不能互相偽裝。有理部分與 $\sqrt3$ 部分必須分別相等。

質數的 n 次根是無理數

同樣的思路可證明更一般的根式無理性。

反設 $\sqrt[n]{p}$ 是有理數。因為它為正，可寫成最低項

$$\sqrt[n]{p}=\frac ab,$$

其中 $a,b\in\mathbb Z^+$ 且 $\gcd(a,b)=1$。兩邊取 n 次方：

$$p=\frac{a^n}{b^n}, \qquad\text{所以}\qquad pb^n=a^n.$$

因此 $p\mid a^n$。把 $a^n$ 看成 n 個 a 的乘積，反覆使用 Euclid 引理可得 $p\mid a$。設 $a=pc$，則

$$pb^n=(pc)^n=p^n c^n.$$

消去一個 p：

$$b^n=p^{n-1}c^n.$$

因為 $n>1$，右邊仍含有因子 p，所以 $p\mid b^n$，再由 Euclid 引理得 $p\mid b$。這與 a,b 互質矛盾，所以 $\sqrt[n]{p}$ 是無理數。

$\sqrt n$ 何時是有理數？

對正整數的平方根，有理性有一個精確判別：正整數的平方根是有理數，當且僅當該整數本身是完全平方數。

若 $n=m^2$，則非負平方根為 $\sqrt n=|m|$，這是一個整數，因此是有理數。

反過來，假設 $\sqrt n$ 是有理數，並寫成最低項

$$\sqrt n=\frac ab,$$

其中 $a,b\in\mathbb Z^+$ 且 $\gcd(a,b)=1$。平方後得

$$nb^2=a^2.$$

我們證明 $b=1$。若 $b>1$，則 b 有質因數 p。由 $p\mid b$ 得 $p\mid b^2$，而 $nb^2=a^2$ 迫使 $p\mid a^2$。由 Euclid 引理，$p\mid a$。這與 $\gcd(a,b)=1$ 矛盾。因此 $b=1$。

所以 $\sqrt n=a$，從而

$$n=a^2.$$

因此 n 是完全平方數。

這個定理解釋了為甚麼 $\sqrt4$、$\sqrt9$、$\sqrt{49}$ 是有理數，而 $\sqrt2$、$\sqrt3$、$\sqrt5$、$\sqrt6$、$\sqrt{10}$ 不是。重點不是小數展開看起來是否簡單，而是根號下的整數是否為整數平方。

快速檢查

練習

1. 直接由定義證明：若 $x,y\in\mathbb Q$，則 $3x-5y\in\mathbb Q$。
2. 給出例子說明兩個無理數的和與積都可能是有理數。
3. 證明：若 $r\in\mathbb Q$、$s\notin\mathbb Q$ 且 $r\ne0$，則 $rs\notin\mathbb Q$。
4. 設 $a,b,c,d\in\mathbb Q$。若 $a+b\sqrt3=c+d\sqrt3$，並假設 $\sqrt3$ 無理，證明 $a=c$ 且 $b=d$。
5. 證明 $\sqrt[3]{5}$ 是無理數。
6. 設 $n\in\mathbb Z^+$。證明 $\sqrt n$ 是有理數，當且僅當 n 是完全平方數。
7. 判斷下列數是有理數還是無理數：$\sqrt{16}$、$\sqrt{18}$、$\sqrt[4]{7}$、$2+\sqrt[3]{11}$。