MATH1090
MATH1090：集合论
以严谨课程笔记方式整理的逻辑、集合、数系构造、实数、极限、基数与第一批代数结构笔记，按相互关联的小节撰写，重视证明与例子。
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7 章节
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课程目录
MATH1090：集合论
以严谨课程笔记方式整理的逻辑、集合、数系构造、实数、极限、基数与第一批代数结构笔记，按相互关联的小节撰写，重视证明与例子。
章节 2集合与关系2 节
章节 7带结构的集合1 节
章节 1
逻辑
处理陈述、连接词与量词的推理工具。
章节 2
集合与关系
基本的集合语言、函数与关系。
章节 3
由构造得到的数系
自然数、整数与有理数如何构造，以及 Q 还欠缺什么。
章节 4
序与完备性
全序、上下界、上确界与下确界，以及 Q 与 R 的完备性差异。
4.1
4.1 全序与有序域
先把全序与偏序分开，再理解 Z 与 Q 的熟悉次序如何与域运算配合。
4.2
4.2 上下界、上确界与下确界
分清最大值、最小值与上界、下界，再理解上确界与下确界如何提供真正需要的极值语言。
4.3
4.3 完备性与 Q 的缺口
精确定义完备性，并用 `sqrt(2)` 下方那个有理数集合看出 Q 仍然有真正的缺口。
4.4
4.4 实数公理与第一次近似构造
把实数视为目标中的完备有序域，然后用小数近似建立第一次构造的动机。
4.5嵌入式互动
4.5 Dedekind cut 与 Q 的嵌入
把实数定义成 Q 的左右分割，理解有理 cut 为何能忠实嵌入 Q，并看清序与运算如何在 cut 上重建。
4.6嵌入式互动
4.6 小数展开与无理数
把无限小数的直觉转成 cut，并用 sqrt(2) 看清无理数如何住在完成后的数系里。
章节 5
序列与最初的极限理论
序列、Cauchy 收敛，以及函数极限的第一轮 delta-epsilon 处理。
章节 6
大型集合
基数、可数性、Cantor 定理、选择原则、区间、Cantor set、稠密性与良序。
章节 7
带结构的集合
二元运算，以及建立在集合之上的第一批代数结构。
7.1嵌入式互动
7.1 二元运算、monoid 与 group
由纯集合走向二元运算，再用代数公理分清 monoid 与 group。