5.1 序列与 epsilon-N 极限

先不要急着谈函数极限；先把 序列极限讲清楚。这个安排很合理，因为序列只沿着自然数 n 一步一步向前走，所以它是学习正式极限定义最干净的入口。

序列是一个函数，不只是一串数字

很多人第一次见到序列时，会把它理解成像

1,2,3,4,\ldots

或者

1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots

这样的列表。这个熟悉观念需要被说得更精确。

定义

集合中的序列

设 $X$ 是一个集合。 $X$ 中的一个序列，就是一个函数

N\to X.

若 $n\in N$ 的像记作 $x_n$ ，我们就把这个序列记作 $(x_n)$ 。

所以，一个序列未必一定由某条简单公式产生。正式要求只有一个：每个自然数 n 都要对应到 $X$ 中某个元素 $x_n$ 。

定义

有理序列与实序列

有理数序列是映射 $N\to Q$ 。实数序列是映射 $N\to R$ 。

这个函数观点之所以重要，是因为它提醒你：序列有定义域、有值域，也有索引变量。... 只是非正式缩写，不是数学定义本身。

为什么先学序列极限？

对序列来说，“靠近极限”的意思是把索引 n 取到越来越大。方向只有一个：往更大的自然数走。

这比函数极限简单得多。对函数而言，x 可以从左、从右，以无穷多种实数方式靠近某个点 a。所以第 5 章先处理离散版本：

先猜一个候选极限 $L$ ；
再给一个容许误差 $\varepsilon>0$ ；
然后问：序列的尾部会不会最终一直留在 $L$ 周围半径 $\varepsilon$ 的带内？

正式定义

定义

实数序列的极限

一个实数序列 $(x_n)$ 的极限是 $L\in R$ ，如果对每个正实数 $\varepsilon>0$ ，都存在 $N\in N$ 使得当 $n>N$ 时，

|L-x_n|<\varepsilon.

在这种情况下，我们写作

L=\lim_{n\to\infty}x_n

或者说 $(x_n)$ 收敛到 $L$ 。

一个自然练习是把这个定义写成符号形式。完整写法是

\lim_{n\to\infty}x_n=L \iff \forall \varepsilon>0\ \exists N\in N\ \forall n>N,\ |x_n-L|<\varepsilon.

怎样正确阅读这串量词

把定义拆开之后，会清楚很多。

$\forall \varepsilon>0$ ：不是只要对某一个误差带成立，而是对每一个正误差带都要成立。
$\exists N\in N$ ：当别人先指定了 $\varepsilon$ 之后，你可以按这个 $\varepsilon$ 去选一个尾部起点 $N$ 。
$\forall n>N$ ：一旦越过这个 $N$ ，之后每一项都要留在该误差带内。

因此，收敛是一个关于尾部的陈述。前面有限多项可以表现得很差，问题不大；关键在于足够后面的项有没有稳定地留在 $L$ 附近。

常见错误

N 可以依赖 epsilon，但不可以依赖 n

证明收敛时，你可以在给定 $\varepsilon$ 之后选 $N$ 。但一旦 $N$ 定了，不等式就要对所有 $n>N$ 同时成立。你不可以对不同的 n 再另外挑不同的 $N$ 。

常见错误

收敛不是看前面几项

改动有限多个起始项，不会改变一个序列是否收敛，因为定义真正控制的是某个 $N$ 之后的整段尾部。

第一个例子：`1/n \to 0`

Example 17 说明

\frac11,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots

的极限是 0。以下把证明完整写出。

例题

证明 `\lim_{n\to\infty} 1/n = 0`

任取 $\varepsilon>0$ 。我们想要

\left|\frac1n-0\right|<\varepsilon,

也就是

\frac1n<\varepsilon.

这只要在

n>\frac1\varepsilon

时便成立。

因此取一个自然数 $N$ 使 N>1/\varepsilon。则每当 $n>N$ ，

\left|\frac1n-0\right|=\frac1n<\varepsilon.

故

\lim_{n\to\infty}\frac1n=0.

这就是最典型的极限证明套路：先由 $|x_n-L|$ 出发，把它化简，再迫使 n 足够大。

第二个例子： $\frac{5n+2}{3n-7} \to \frac53$

Example 18 给出一个有理函数型的序列。

例题

证明 $\lim_{n\to\infty}\frac{5n+2}{3n-7}=\frac53$

先计算

\left|\frac{5n+2}{3n-7}-\frac53\right| = \left|\frac{3(5n+2)-5(3n-7)}{3(3n-7)}\right| = \left|\frac{41}{3(3n-7)}\right|.

当 n 足够大时，分母为正，所以

\left|\frac{41}{3(3n-7)}\right|=\frac{41}{3(3n-7)}.

再取 $N$ 足够大，使得 $n>N$ 时有 $3n-7\ge 2n$ 。于是

\frac{41}{3(3n-7)}\le \frac{41}{6n}.

所以只要再令

\frac{41}{6n}<\varepsilon

便足够。

换言之，我们可以把 $N$ 取得更大，令 $n>N$ 时同时满足 $3n-7\ge 2n$ 与 n>41/(6\varepsilon)。那么

\left|\frac{5n+2}{3n-7}-\frac53\right|<\varepsilon.

因此

\lim_{n\to\infty}\frac{5n+2}{3n-7}=\frac53.

虽然这个例子的代数计算较长，但逻辑结构和 1/n 完全一样：把误差项改写成一个随 n 变大而变小的量。

一个简单但重要的特例

对常值序列 $x_n=0$ ，极限可以直接看出。

例题

常数序列收敛到其常数值

若对所有 n 都有 $x_n=0$ ，那么对每个 $\varepsilon>0$ ，

|x_n-0|=0<\varepsilon

对所有自然数 n 都成立。

因此任何自然数都可以当作 $N$ ，所以

\lim_{n\to\infty}x_n=0.

这个小例子值得记住，因为它让你看到：当误差本身恒等于零时，定义是如何被立即满足的。

从几何角度看收敛

若 $\lim_{n\to\infty}x_n=L$ ，那就表示不论你在 $L$ 周围画一个多窄的误差带，序列的尾部最终都会整段留在这个带内。

等价地说：

你可以容许有限多个初始项不受控制；
但在某个位置之后，序列不能再反复跑出 $\varepsilon$ -带外。

这就是为什么“有很多项接近 $L$ ”仍然不够。收敛要求的是：所有充分后面的项都要接近 $L$ 。

序列尾部进入 epsilon 带

图：收敛不只表示“看见一些项靠近 $L$ ”。真正的要求是：从某个足够大的 $N$ 之后，整条尾部都要留在所选的 $\varepsilon$ 带内。

互动地比较尾部行为

下面的 explorer 可以让你切换不同序列、不同 $\varepsilon$ ，并查看第一个有效的 $N$ 。真正要看的重点是：从那个 $N$ 之后，表格中的尾部是否一直留在候选极限周围的 $\varepsilon$ -带内。

边读边试

测试数列尾部能否留在 epsilon 带内

这个工具用“尾部能否被某条 epsilon 带困住”来比较收敛与不收敛的数列。

各项稳定缩小，所以一旦选定 epsilon，到了某个位置之后，所有后面的项都会落在 0 周围的带内。

候选极限 L

Epsilon ε

0.2

尾部起点 N

项序 n	数列项 x_n	带内测试 \|x_n - L\| < ε
1	1	否
2	0.5	否
3	0.3333	否
4	0.25	否
5	0.2	否
6	0.1667	是
7	0.1429	是
8	0.125	是
9	0.1111	是
10	0.1	是
11	0.0909	是
12	0.0833	是

判断: 从 N = 5 之后开始，每个被检查的项都留在 L 周围的带内。

快速检查

在 $\lim_{n\to\infty}x_n=L$ 的定义里，N 的角色是什么？

用“尾部”的语言回答。

解答

答案

快速检查

为什么把一个收敛序列的头十项改掉，不会破坏其收敛性？

想想定义真正控制的是哪些索引。

解答

答案

快速检查

对于序列 $x_n=0$ ，是否可以用同一个 N 应付所有 epsilon？

利用误差恒等于零这件事。

解答

答案

练习

快速检查

把序列极限的定义完整写成符号形式。

不要漏掉量词次序。

解答

引导解答

快速检查

直接用定义证明 `\lim_{n\to\infty} 1/(2n)=0`。

把它和 1/n 的证明对照。

解答

引导解答

快速检查

为什么『有无限多项接近 L』仍不足以推出收敛？

把“无限多项”和“所有充分后面的项”作比较。

解答

5.1 序列与 epsilon-N 极限

MATH1090：集合论

序列是一个函数，不只是一串数字

集合中的序列

有理序列与实序列

为什么先学序列极限？

正式定义

实数序列的极限

怎样正确阅读这串量词

N 可以依赖 epsilon，但不可以依赖 n

收敛不是看前面几项

第一个例子：`1/n \to 0`

证明 `\lim_{n\to\infty} 1/n = 0`

第二个例子： $\frac{5n+2}{3n-7} \to \frac53$

证明 $\lim_{n\to\infty}\frac{5n+2}{3n-7}=\frac53$

一个简单但重要的特例

常数序列收敛到其常数值

从几何角度看收敛

互动地比较尾部行为

测试数列尾部能否留在 epsilon 带内

快速检查

在 $\lim_{n\to\infty}x_n=L$ 的定义里，N 的角色是什么？

答案

为什么把一个收敛序列的头十项改掉，不会破坏其收敛性？

答案

对于序列 $x_n=0$ ，是否可以用同一个 N 应付所有 epsilon？

答案

练习

把序列极限的定义完整写成符号形式。

引导解答

直接用定义证明 `\lim_{n\to\infty} 1/(2n)=0`。

引导解答

为什么『有无限多项接近 L』仍不足以推出收敛？

引导解答

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为什么先学序列极限？

正式定义

实数序列的极限

怎样正确阅读这串量词

N 可以依赖 epsilon，但不可以依赖 n

收敛不是看前面几项

第一个例子：1/n \to 0

证明 \lim_{n\to\infty} 1/n = 0

第二个例子：5n+23n−7→53\frac{5n+2}{3n-7} \to \frac533n−75n+2​→35​

证明 lim⁡n→∞5n+23n−7=53\lim_{n\to\infty}\frac{5n+2}{3n-7}=\frac53limn→∞​3n−75n+2​=35​

一个简单但重要的特例

常数序列收敛到其常数值

从几何角度看收敛

互动地比较尾部行为

测试数列尾部能否留在 epsilon 带内

快速检查

在 lim⁡n→∞xn=L\lim_{n\to\infty}x_n=Llimn→∞​xn​=L 的定义里，N 的角色是什么？

答案

为什么把一个收敛序列的头十项改掉，不会破坏其收敛性？

答案

对于序列 xn=0x_n=0xn​=0，是否可以用同一个 N 应付所有 epsilon？

答案

练习

把序列极限的定义完整写成符号形式。

引导解答

直接用定义证明 \lim_{n\to\infty} 1/(2n)=0。

引导解答

为什么『有无限多项接近 L』仍不足以推出收敛？

引导解答

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第一个例子：`1/n \to 0`

证明 `\lim_{n\to\infty} 1/n = 0`

第二个例子： $\frac{5n+2}{3n-7} \to \frac53$

证明 $\lim_{n\to\infty}\frac{5n+2}{3n-7}=\frac53$

在 $\lim_{n\to\infty}x_n=L$ 的定义里，N 的角色是什么？

对于序列 $x_n=0$ ，是否可以用同一个 N 应付所有 epsilon？

直接用定义证明 `\lim_{n\to\infty} 1/(2n)=0`。