4.1 全序与有序域

为什么要先单独谈次序

前面章节重点在于构造 $N$、$Z$、$Q$，再仔细定义它们的运算。到第 4 章时，问题换了：我们不只问“这些数是什么”，还要问“它们带有怎样的次 序结构”。

这个转向很重要，因为后面的界、上确界、极限、完备性，全都依赖次序 关系。如果连次序本身的性质都没有厘清，就谈不上后面的分析语言。

偏序与全序

这个例子提醒你：“有次序”不等于“任何两个元素都能比较”。可比较性必 须另外检查。

子集上的限制次序

一旦环境集合本身是全序，它的任意子集都会自动继承这个全序。

这一点在后面非常重要，因为我们经常研究像

$$S=\{q\in Q\mid q^2<2\}$$

这种 $Q$ 的子集。我们不是给 $S$ 发明一个全新的次序，而是把 $Q$ 原本的次序限制到 $S$ 上。

$Z$ 与 $Q$ 的标准次序

对整数与有理数，熟悉的大小关系可以写成：

$$x\le y \quad \text{iff} \quad 0\le y-x.$$

也就是说，比较 x 和 y，可以化成判断差 $y-x$ 的符号。这样的写法很 有用，因为正负、加法与乘法本来就是 $Z$、$Q$ 的代数语言之一。

原因很直接：对任意差 $y-x$，只会出现三种情形之一。它是正、是零，或 是负。于是就分别得到 $x<y$、$x=y$、$x>y$，因此任意两个元素都能比较。

次序必须和运算配合

次序不是孤立的装饰。它还要和加法、乘法正确互动。

第一条表示平移不会破坏大小次序。第二条表示两个非负数相乘，不会无 端变成负数。

如果没有这些相容性，后面有关区间、界、绝对值的论证就会失去基础。

域与有序域

可以用一种打包方式去总结 $Q$ 的代数结构。

这个定义记住了代数，但还完全没有提到次序。

因此，有序域不是“一个域再随便加个比较符号”。它要求代数与次序彼此 一致。

$Q$ 是有序域。之后我们会看到，$R$ 也是有序域，但还比 $Q$ 多一个关键 条件：完备性。

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练习

相关笔记

可先读 3.4 有理数与良定义运算 及 3.5 Q 的缺口与 sqrt(2)。 之后可接着读 4.2 上下界、上确界与下确界。