5.2 Cauchy 序列与另一个实数模型

上一页用一个已知的极限 $L$ 来定义收敛。这一页要问一个更深的问题：

如果我们还未先知道那个极限是一个现成存在的实数，能否仍然看出一个序列 正在“收敛”？

这个问题把我们带到 Cauchy 序列，也带到实数的第二种构造方式。

为什么需要一个内部的收敛测试？

一个很好的动机来自下面这个有理数序列：

$$1,\qquad 1+\frac12,\qquad 1+\frac12+\frac1{3\cdot 2},\qquad 1+\frac12+\frac1{3\cdot 2}+\frac1{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1},\ \ldots$$

从图像上看，这些项似乎越来越贴近数线上的某个点。但如果我们正在尝试由 $Q$ 去构造实数，就不能一开始便假设那个极限点已经是某个现成的 $R$ 里元素。

因此，我们不先问“它是否接近某个外在的 $L$”，而是先问：

这个序列后面的那些项，是否彼此越来越接近？

Cauchy 序列的定义

这个定义和普通极限定义有相同的量词骨架，但比较对象变了：

• 在一般收敛定义里，你拿 $x_n$ 去和固定的 $L$ 比较；
• 在 Cauchy 定义里，你拿晚期的 $x_n$ 和 $x_m$ 彼此比较。

所以 Cauchy 序列描述的是：尾部会被压进越来越窄的区域内。

为什么收敛一定推出 Cauchy？

notes 记录了以下命题。

完整证明不长；先把关键思路看清楚。

这个命题表示：真正的收敛一定会令序列尾部压缩起来。

等价的 Cauchy 序列

如果 Cauchy 序列要代表实数，那么两个“其实指向同一点”的序列，应该要 被视作同一个实数。

这表示：两个序列的尾部最终可以彼此靠得任意近。直观上，它们是在描述数 线上的同一个极限点。

notes 接着指出，这个等价关系的确是一个 equivalence relation，而 triangle inequality 是验证对称性与传递性的核心工具。

用等价类构造 $R$

现在可以把这个想法写成正式定义。

这是一个重要的观点转换：

• 在 Dedekind cut 模型里，实数是把 $Q$ 分成左右两边的切割；
• 在 Cauchy 模型里，实数是一整个“彼此不可区分”的逼近序列家族。

两个模型都同样严格，也都在构造同一个实数系统。

有理数如何嵌入这个模型？

还需要说明：在这个构造中，我们应如何理解有理数本身？最自然的答案 是：有理数 q 由 constant sequence

$$(q,q,q,q,\ldots)$$

所代表。

因此，一个实数不是某条单独代表序列本身，而是整个等价类。

为什么 boundedness 很重要？

“每条 Cauchy 序列都是 bounded”这个 lemma 非常重要，因为它让乘法得以 顺利定义。

若 $(x_n)$ 和 $(y_n)$ 都是 Cauchy，则：

• $(x_n+y_n)$ 仍是 Cauchy；
• $(x_ny_n)$ 仍是 Cauchy。

对乘法来说，需要一个共同上界 $M$，使得

$$|x_my_m-x_ny_n| \le |x_m|\cdot |y_m-y_n|+|y_n|\cdot |x_m-x_n| \le M|y_m-y_n|+M|x_m-x_n|.$$

一旦原来两条序列本身是 Cauchy，右边便能被压得任意小。

等价类上的运算与次序

在知道逐项相加、逐项相乘仍会留在 Cauchy 世界之后，notes 便在等价类上 定义加法与乘法。

若 $[(x_n)]$ 和 $[(y_n)]$ 是此模型中的两个实数，则

$$[(x_n)] + [(y_n)] := [(x_n+y_n)],$$ $$[(x_n)] \cdot [(y_n)] := [(x_ny_n)].$$

notes 也用代表元在尾部的最终比较来定义次序：若第一个等价类的晚期项最 终都低于第二个等价类的晚期项，就把前者视作不大于后者。

真正严格的工作，是要检查这些定义都是 well-defined。也就是说，换了别 的等价代表元，运算与比较结果都不会改变。

这个构造最后得到什么？

课堂里没有把每个细节都证到最后。有些部分留作练习，例如运算的 well-definedness 和最后的完备性验证。不过概念上的结构很清楚：

• Cauchy 序列抓住了“内部收敛”；
• 等价类避免不同逼近序列替同一个实数起不同名字；
• 完备性被建进这个完成过的系统之中。

快速检查

练习

相关笔记

建议先读 5.1 序列与 epsilon-N 极限 及 4.3 完备性与 Q 的缺口。 之后可接着读 5.3 Delta-epsilon 极限、极限定律与连续性。