4.3 完备性与 Q 的缺口

完备性是一种存在性要求

上一节介绍了 supremum 与 infimum。完备性要问的是：在“应该”存在这些 极值界的情况下，它们是否真的存在？

这是 $Q$ 与 $R$ 真正分开的第一个地方。从代数角度看，$Q$ 已经很强： 它是一个域，也有熟悉的全序。但从次序结构看，$Q$ 仍然会漏掉某些本该 出现的边界点。

定义

所以，完备性不是说元素很多，而是说：只要某个非空有界子集理应拥有最 小上界或最大下界，这些界就真的存在于同一个环境集合里。

真正有趣的问题，是像 $Q$、$R$ 这样的无限有序集。

有理数里的经典反例

标准反例是

$$S=\{x\in Q\mid x^2<2\}.$$

这个集合非空，因为 $1\in S$。它也在 $Q$ 中上有界，例如 2 就是一个 上界。

若 $Q$ 是完备的，会发生什么？那么 $S$ 应该在 $Q$ 中有 supremum。以下 整个论证正是在说：没有任何有理数可以充当这个角色。

为什么没有有理数能当作 sup(S)

证明分成三种情况，按候选有理数 s 的平方来看。

情况一：$s^2<2$

这表示 s 仍然太小。事实上，我们甚至可以稍微往右走一 点，仍然留在 $S$ 里。

情况二：$s^2>2$

这时 s 的确是上界，但它太大了，不可能是最小上界。下面证明我们 可以略为向左移动，同时仍保持它是上界。

情况三：$s^2=2$

这在 $Q$ 里根本不可能，因为前一章已经证明 $\sqrt{2}$ 是无理数。

把三种情况合起来：

• $s^2<2$ 时，s 甚至不是上界；
• $s^2>2$ 时，s 虽是上界，却不是最小上界；
• $s^2=2$ 在 $Q$ 中不会发生。

因此，$S$ 在 $Q$ 中没有 supremum。

稠密不等于完备

很多人此时会直觉地说：

“可是在任意两个有理数之间，都还能找到更多有理数；这样还不够吗？”

这句话把两件事混在一起了：

• 稠密是指：两个不同有理数之间，总能再找到另一个有理数；
• 完备是指：每个非空有界子集，都在同一个环境里拥有正确的最小上 界与最大下界。

集合 $S$ 正好说明：即使边界附近有无穷多个有理逼近，也仍可能缺少真正 的 supremum。

快速检查

练习

相关笔记

可先读 3.5 Q 的缺口与 sqrt(2) 及 4.2 上下界、上确界与下确界。 之后可接着读 4.4 实数公理与第一次近似构造。