4.5 Dedekind 分割与 Q 的嵌入

为什么现在要引入分割？

上一页的核心图像是：

• 一个实数应该决定 $Q$ 里哪些有理数在它左边；
• 它也应该决定哪些有理数在它右边；
• 这个实数本身可以看成左右两边之间的边界。

下一步就是把这个图像正式化。关键一步是：我们 不再先假设实数已经存在，再去问哪些有理数比它小；相反，我们直接用 $Q$ 里左边那一半去定义这个实数。

这就是 Dedekind 分割 的基本想法。

两个等价定义

换句话说，$A$ 是整个左半边，$B$ 是整个右半边。两边没有重叠，也没有漏 掉任何有理数，而左半边不能把边界本身当作最后一点收进去。

第二种写法通常更方便。因为只要知道左边集合 $A$，右边就自动是 $Q\setminus A$。所以一个分割其实就是：哪些有理数已经被判定在这条边 界左边。

每个条件到底在做什么

定义很短，但每一条都不是装饰。

• $A\ne\varnothing$ 和 $A\ne Q$ 排除了没有左边或没有右边的假分割。
• 向下封闭表示：若某个有理数已经在左边，那么更小的有理数也一定在左 边。
• “没有最大元素”表示：边界本身不会被收成 $A$ 的最后一点；你永远可 以在左边再往右走一点点。

最后这条最微妙，也最重要。它正是避免同一个有理数被表示两次的关键。

有理分割与 $Q$ 的嵌入

称 （A,B） 为有理 Dedekind 分割，如果 $B$ 有最小元 素。在这种情况下，边界其实已经由某个有理数实现。

若 $\min(B)=q$，那就必定有

$$A=\{x\in Q\mid x<q\}.$$

这就带来记号

$$q_R=\{x\in Q\mid x<q\}.$$

所以每个有理数 q 都给出一个 Dedekind 分割 $q_R$，而映射

$$i:Q\to R,\qquad i(q)=q_R$$

就把 $Q$ 嵌入到 cut 模型的实数系统里。

这一点在概念上很重要。Dedekind 分割不是把有理数丢掉重来，而是在 $Q$ 里补上原本缺失的边界。

分割上的次序与最初的运算

仅仅定义出所有分割组成的集合 $R$ 还不够。为了回应上一页的目标， 还要在 $R$ 上定义次序与算术。

对次序来说，最自然的规则是：

$$A\le A' \quad\text{当且仅当}\quad A\subseteq A'.$$

这正是左边集合应有的比较方式。若 $A$ 左边的每个有理数也都在 A' 左 边，那么 $A$ 代表的边界不可能在 A' 的右边。

对加法，notes 定义

$$A+A'=\{a+a' \mid a\in A,\ a'\in A'\}.$$

直观上，两个边界的和，其左边应由“第一个边界左边的有理数”加上“第二 个边界左边的有理数”所产生。

对乘法，notes 先处理非负分割，再通过符号规则推广到一般情况。当 $0_R\le A$ 且 $0_R\le A'$ 时，它使用

$$A\cdot A' = \{aa' \mid a\in A,\ a'\in A',\ a\ge 0,\ a'\ge 0\}\cup\{x\in Q\mid x<0\}.$$

这比加法更技术化，但精神一样：只用已经在左右边界内部的有理资料来建 立新边界的左边。

完整证明并不短，但总结非常干净：Dedekind 分割正好完成了第 4 章对实数 模型提出的要求。

在数线上看这条边界

图：一个分割会把边界左边的所有有理数都收进左集合。当边界是 $\sqrt{2}$ 时，右边没有最小的有理数。

用互动方式比较有理 cut 与无理 cut

下面的 explorer 把有理边界 3/2 与无理边界 $\sqrt{2}$ 并排放在一起。最 值得观察的是：右边那一侧究竟会不会由某个最小的有理数开始。

常见错误

快速检查

练习

相关笔记

请先读 4.4 实数公理与第一次近似构造。 然后继续读 4.6 小数展开与无理数， 那一页会把 Dedekind 分割重新连到熟悉的小数记号，并用 $\sqrt2$ 介绍无 理数。