4.6 小数展开与无理数

为什么引入分割之后又回到小数？

读完 4.5 之后，一个很自然的反应是：

“Dedekind 分割是可行，但为什么偏偏是这个构造？”

§4.9 在结构层面回答了这个疑问。重点不是说 Dedekind 分割是唯一能想出 来的构造，而是：只要某个构造真的做出一个完备有序域，那么它在数学意义 上做出来的就是实数。

这门课在这里不证明这个定理，但它说明了：我们可以自在地来回切换于形式 构造与学生早已熟悉的小数直觉之间。

由小数展开得到分割

考虑一个非正式的小数展开

$$x=10.4352902543\ldots$$

notes 先从它造出两族有理数。

先看由下逼近：

$$S=\{10,\ 10.4,\ 10.43,\ 10.435,\ldots\}.$$

然后定义

$$A=\{q\in Q\mid \exists s\in S\text{ 使得 }q<s\}.$$

再看由上逼近：

$$T=\{11,\ 10.5,\ 10.44,\ 10.436,\ldots\}.$$

然后定义

$$B=\{q\in Q\mid \exists t\in T\text{ 使得 }q>t\}.$$

关键主张是：(A,B) 就是一个 Dedekind 分割。也就是说，一个熟悉的小数 展开可以被转换成上一页引入的那种边界对象。

为什么这真的是一个 Dedekind 分割

用单集合版本的定义最容易检查。

• $A$ 非空，因为例如 $9<10$，所以 $9\in A$。

• $A$ 不是整个 $Q$，因为 $T$ 里的每条上方围栏都严格高于 $S$ 里的每条下 方围栏，所以像 11 这样的数不可能落在任何一条下方围栏之下。

• $A$ 向下封闭：若 $q<s$ 对某个 $s\in S$ 成立，而 $y<q$，那么 $y<s$ 也成立，所以 $y\in A$。

• $A$ 没有最大元素：若 $q\in A$，挑一个 $s\in S$ 使 $q<s$，再令

  $$r=\frac{q+s}{2}.$$

  就有 $q<r<s$，所以 $r\in A$。

因此，这个小数展开确实被转成了 cut 模型中的一个真正实数。

这正好体现了第 4 章的整体方法：看似非正式的描述，只要改写成有理数次序 数据，就能变成严格数学对象。

由分割反推出小数展开

一个反向练习是：给定一个 Dedekind 分割，如何产生 对应的小数展开？

想法其实很系统。

1. 先找整数部分，也就是找出仍然留在左集合中的最大整数。
2. 再测试十分位，保留仍然在左集合中的最大候选。
3. 接着测试百分位、千分位，如此类推。

每一步，你都在选择“仍然留在 cut 左边的最大十进制截断”。这会产生一串 越来越窄的有理区间，而它们的宽度趋向 0。

所以在这套理论里，小数位不是实数的原始定义；它是从分割通过反复逼近所 恢复出来的表示法。

图：每揭示多一位小数，便得到更窄的一条有理区间，而 $\sqrt{2}$ 始终留 在所有这些区间里。

用互动方式建立小数围栏

下面的 builder 会逐位揭示小数，并同步更新下界、上界与区间宽度，让你看 到“小数展开”其实是在构造一串越来越紧的有理围栏。

无理数

所以“无理”并不表示神秘、未定义，或无法描述；它只表示这个实数不是任 何一个有理 cut $q_R$。

定义 $\sqrt2$ 的那个分割

一个具体例子是。考虑

$$A=\{r\in Q\mid r\le 0\text{ 或 }r^2<2\},$$

以及

$$B=Q\setminus A=\{r\in Q\mid r>0\text{ 且 }r^2>2\}.$$

这个对应的分割就是平方等于 2 的正实数。

由于第 3 章已证明没有任何有理数的平方会等于 2，这个分割不可能是有理 分割。因此 $\sqrt2$ 是无理数。

快速检查

练习

相关笔记

请先读 4.5 Dedekind 分割与 Q 的嵌入。 这两页一起完成了第 4 章里最核心的一步：由 $Q$ 中缺失的 supremum，走到 由有理逼近支撑的实数正式构造。