4.2 上下界、上确界与下确界

为什么极值要讲得这么精确

一旦一个集合带有次序，最有意思的问题往往都发生在它的边界附近：它有没有最大元素？如果没有，是否仍有一个最小的“上方障碍”？左边又有没有最好的下界？

这里有一条很重要的概念链：

maximum 与 minimum 讲的是集合内部的元素；
upper bound 与 lower bound 可以落在集合外部；
supremum 与 infimum 则是所有这类界之中“最好”的那一个。

如果把这些概念混在一起，后面的完备性论证就很难读清楚，所以这一节要先把它们分开。

最大值、最小值与上下界

定义

最大值、最小值、上界与下界

设 $Y$ 是有序集 $X$ 的子集。

若 $m\in Y$ 且对所有 $y\in Y$ 都有 $y\le m$ ，则 m 是 $Y$ 的 最大值。
若 $n\in Y$ 且对所有 $y\in Y$ 都有 $n\le y$ ，则 n 是 $Y$ 的 最小值。
若 $u\in X$ 且对所有 $y\in Y$ 都有 $y\le u$ ，则 u 是 $Y$ 的上界。
若 $\ell\in X$ 且对所有 $y\in Y$ 都有 $\ell\le y$ ，则 $\ell$ 是 $Y$ 的下界。

关键差别在于：最大值、最小值必须属于集合本身；上界、下界只需要属于外面的环境有序集。

例题

Z 里的一个有限集合

设 $Y=\{1,2,3\}\subseteq Z$ 。

最大值是 3；
最小值是 1；
每个 $u\ge 3$ 的整数都是上界；
每个 $\ell\le 1$ 的整数都是下界。

所以这个集合有很多上界与下界，但最大值与最小值各只有一个。

例题

有界不代表有极值元素

把 $Q_{>0}$ 视为 $Q$ 的子集。

0 是 $Q_{>0}$ 的下界，但 0 并不属于这个集合。事实上， $Q_{>0}$ 没有最小值，因为对每个正有理数 q，更小的 q/2 仍然是正有理数。

这个例子提醒你：lower bound 与 minimum 不是一回事。

上确界与下确界

有些上界比另一些更好。supremum 是最小上界；infimum 是最大下界。

定义

上确界与下确界

设 $Y$ 是有序集 $X$ 的非空子集。

$s\in X$ 称为 $Y$ 的 上确界，记作 $s=\sup(Y)$ ，如果 s 是 $Y$ 的上界，而且每个上界 u 都满足 $s\le u$ 。
$t\in X$ 称为 $Y$ 的 下确界，记作 $t=\inf(Y)$ ，如果 t 是 $Y$ 的下界，而且每个下界 $\ell$ 都满足 $\ell\le t$ 。

这里的环境集合非常重要。同一个子集，可能在 $R$ 里有 supremum，但在 $Q$ 里没有。

例题

开区间 (0,1)

取 $Y=(0,1)\subseteq R$ 。

$Y$ 没有最大值，因为 1 不在集合内，而且每个元素右边仍可找到更大的集合元素；
$\sup(Y)=1$ ；
$Y$ 没有最小值；
$\inf(Y)=0$ 。

因此，两个极端的界都存在，但都不属于集合本身。

为什么上确界与下确界是唯一的

定理

一个集合至多只有一个上确界与一个下确界

若 $Y\subseteq X$ 有上确界，那么那个上确界必定唯一；下确界也一样。

理由很短，但很重要。若 s 与 s' 都是 $Y$ 的 supremum，则 s 是上界，而 s' 作为“最小上界”就必须满足 $s'\le s$ 。反过来同理得到 $s\le s'$ 。由反对称性便得 $s=s'$ 。

对 infimum 的论证完全相同。

用逼近去理解上确界

supremum 的定义还可以改写成更常用的判据：

$s=\sup(Y)$ 当且仅当 s 是 $Y$ 的上界，而且对每个 $\varepsilon>0$ ，都存在 $y\in Y$ 使 $s-\varepsilon<y\le s$ 。

这告诉你：supremum 不只是上方一堵墙，而是集合中的点可以由下方任意逼近它。

证明

为什么这个逼近判据等价

常见错误

maximum 比 supremum 更强

maximum 必须属于集合本身；supremum 只需要在环境有序集中充当最小上界。开区间 (0,1) 的 supremum 是 1，但它没有 maximum。

常见错误

环境有序集不可忽略

写 $\sup(Y)$ 时，你其实是在某个具体有序集里工作。 $Q$ 的子集在 $R$ 里可能有 supremum，但在 $Q$ 里没有。后面证明 $Q$ 不完备时，正是利用这一点。

快速检查

对 Y=(0,1)，它有没有最大值？sup(Y) 与 inf(Y) 分别是什么？

分清集合内元素与外部界。

解答

答案

快速检查

若集合 A 有最大值 m，则 sup(A) 是什么？

直接对照定义。

解答

答案

练习

快速检查

设 A={1-1/n : n in N}。求 sup(A)、inf(A)，并判断 A 是否有最大值。

先写出前几项，再看趋势。

解答

引导解答

快速检查

证明：若 B 非空且下有界，则 inf(B) = -sup(-B)。

把 B 的下界语句翻成 -B 的上界语句。

解答

4.2 上下界、上确界与下确界

MATH1090：集合论

为什么极值要讲得这么精确

最大值、最小值与上下界

最大值、最小值、上界与下界

Z 里的一个有限集合

有界不代表有极值元素

上确界与下确界

上确界与下确界

开区间 (0,1)

为什么上确界与下确界是唯一的

一个集合至多只有一个上确界与一个下确界

用逼近去理解上确界

为什么这个逼近判据等价

常见错误

maximum 比 supremum 更强

环境有序集不可忽略

快速检查

对 Y=(0,1)，它有没有最大值？sup(Y) 与 inf(Y) 分别是什么？

答案

若集合 A 有最大值 m，则 sup(A) 是什么？

答案

练习

设 A={1-1/n : n in N}。求 sup(A)、inf(A)，并判断 A 是否有最大值。

引导解答

证明：若 B 非空且下有界，则 inf(B) = -sup(-B)。

引导解答

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