MATH1090

MATH1090：集合論

以嚴謹課程筆記方式整理的邏輯、集合、數系構造、實數、極限、基數與第一批代數結構筆記，按互相關聯的小節撰寫，重視證明與例子。

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7 章節

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課程目錄

MATH1090：集合論

以嚴謹課程筆記方式整理的邏輯、集合、數系構造、實數、極限、基數與第一批代數結構筆記，按互相關聯的小節撰寫，重視證明與例子。

語言

全部筆記系列系列總覽

章節 1邏輯3 節

1.11.1 命題邏輯 1.21.2 真值表與邏輯等價 1.31.3 量詞與否定

章節 2集合與關係2 節

2.12.1 集合與集合運算 2.22.2 函數與關係

章節 3由構造得到的數系5 節

3.13.1 自然數與 Peano 公理 3.23.2 歸納法與遞歸算術 3.33.3 由等價類構造整數 3.43.4 有理數與良定運算 3.53.5 Q 的缺口與 sqrt(2)

章節 4序與完備性6 節

4.14.1 全序與有序域 4.24.2 上下界、上確界與下確界 4.34.3 完備性與 Q 的缺口 4.44.4 實數公理與第一次近似構造 4.54.5 Dedekind cut 與 Q 的嵌入 4.64.6 小數展開與無理數

章節 5序列與最初的極限理論3 節

5.15.1 序列與 epsilon-N 極限 5.25.2 Cauchy 序列與另一個實數模型 5.35.3 Delta-epsilon 極限、極限定律與連續性

章節 6大型集合3 節

6.16.1 基數、可數性與基數不等式 6.26.2 Cantor 定理、連續統與選擇公理 6.36.3 區間、Cantor set、稠密性與良序

章節 7帶結構的集合1 節

7.17.1 二元運算、monoid 與 group

章節 1

邏輯

處理陳述、連接詞與量詞的推理工具。

1.1嵌入式互動

1.1 命題邏輯

學習數學家如何處理陳述、連接詞與推理有效性。

1.2嵌入式互動

1.2 真值表與邏輯等價

建立真值表，並用它檢查等價式、重言式與矛盾式。

1.3嵌入式互動

1.3 量詞與否定

細心翻譯量詞，並在不改變意思的前提下做否定。

章節 2

集合與關係

基本的集合語言、函數與關係。

2.1嵌入式互動

2.1 集合與集合運算

透過具體例子理解屬於、子集，以及主要的集合運算。

2.2嵌入式互動

2.2 函數與關係

把集合連到函數與關係，並有信心解讀單射、滿射及關係語言。

章節 3

由構造得到的數系

自然數、整數與有理數如何構造，以及 Q 還欠缺甚麼。

3.1

3.1 自然數與 Peano 公理

從 Peano 觀點認識自然數，並理解後繼運算真正代表甚麼。

3.2嵌入式互動

3.2 歸納法與遞歸算術

把歸納法當作證明模式，並能讀懂 + 和 · 的遞歸公式而不丟失基本情況。

3.3

3.3 由等價類構造整數

用自然數對的等價類構造整數，並把每個等價類讀成一個有符號數。

3.4

3.4 有理數與良定運算

把有理數定義成等價類，並檢查常用公式不會依賴你選哪個代表元。

3.5

3.5 Q 的缺口與 sqrt(2)

透過無理數 sqrt(2) 與其下方的有理數集合，看見 Q 為甚麼仍然有缺口。

章節 4

序與完備性

全序、上下界、上確界與下確界，以及 Q 與 R 的完備性差異。

4.1

4.1 全序與有序域

先把全序與偏序分開，再理解 Z 與 Q 的熟悉次序如何與域運算配合。

4.2

4.2 上下界、上確界與下確界

分清最大值、最小值與上界、下界，再理解上確界與下確界如何提供真正需要的極值語言。

4.3

4.3 完備性與 Q 的缺口

精確定義完備性，並用 `sqrt(2)` 下方那個有理數集合去看出 Q 仍然有真正的缺口。

4.4

4.4 實數公理與第一次近似構造

把實數視為目標中的完備有序域，然後用小數近似去建立第一次構造的動機。

4.5嵌入式互動

4.5 Dedekind cut 與 Q 的嵌入

把實數定義成 Q 的左右分割，理解有理 cut 為何能忠實嵌入 Q，並看清序與運算如何在 cut 上重建。

4.6嵌入式互動

4.6 小數展開與無理數

把無限小數的直覺轉成 cut，並用 sqrt(2) 看清無理數如何住在完成後的數系裡。

章節 5

序列與最初的極限理論

序列、Cauchy 收斂，以及函數極限的第一輪 delta-epsilon 處理。

5.1嵌入式互動

5.1 序列與 epsilon-N 極限

把序列視作定義在 N 上的函數，再透過具體例子學會 epsilon-N 的收斂定義。

5.2

5.2 Cauchy 序列與另一個實數模型

理解 Cauchy 序列如何抓住內部收斂，再勾勒有理 Cauchy 序列的等價類如何給出另一個 R 的模型。

5.3嵌入式互動

5.3 Delta-epsilon 極限、極限定律與連續性

由序列極限走向函數極限，學會 delta-epsilon 定義，並整理第一套判別不存在、極限定律與連續性的工具。

章節 6

大型集合

基數、可數性、Cantor 定理、選擇原則、區間、Cantor set、稠密性與良序。

6.1嵌入式互動

6.1 基數、可數性與基數不等式

用雙射、單射與明確的可數枚舉比較有限與無限集合大小。

6.2嵌入式互動

6.2 Cantor 定理、連續統與選擇公理

用 Cantor 定理證明冪集嚴格更大，再把 continuum hypothesis 與選擇公理放入脈絡。

6.3嵌入式互動

6.3 區間、Cantor set、稠密性與良序

研究區間、Cantor set、稠密性與良序，分清不同的大小與次序概念。

章節 7

帶結構的集合

二元運算，以及建立在集合之上的第一批代數結構。

7.1嵌入式互動

7.1 二元運算、monoid 與 group

由純集合走向二元運算，再用代數公理分清 monoid 與 group。