4.3 完備性與 Q 的缺口

完備性是一種存在性要求

上一節介紹了 supremum 與 infimum。完備性要問的是：在「應該」存在這些 極值界的情況下，它們是否真的存在？

這是 $Q$ 與 $R$ 真正分開的第一個地方。從代數角度看，$Q$ 已經很強： 它是一個域，也有熟悉的全序。但從次序結構看，$Q$ 仍然會漏掉某些本該 出現的邊界點。

定義

所以，完備性不是說元素很多，而是說：只要某個非空有界子集理應擁有最 小上界或最大下界，這些界就真的存在於同一個環境集合裡。

真正有趣的問題，是像 $Q$、$R$ 這樣的無限有序集。

有理數裡的經典反例

標準反例是

$$S=\{x\in Q\mid x^2<2\}.$$

這個集合非空，因為 $1\in S$。它也在 $Q$ 中上有界，例如 2 就是一個 上界。

若 $Q$ 是完備的，會發生甚麼？那麼 $S$ 應該在 $Q$ 中有 supremum。以下 整個論證正是在說：沒有任何有理數可以充當這個角色。

為甚麼沒有有理數能當作 sup(S)

證明分成三種情況，按候選有理數 s 的平方來看。

情況一：$s^2<2$

這表示 s 仍然太小。事實上，我們甚至可以稍微往右走一 點，仍然留在 $S$ 裡。

情況二：$s^2>2$

這時 s 的確是上界，但它太大了，不可能是最小上界。可以證明我 們可以略為向左移動，同時仍保持它是上界。

情況三：$s^2=2$

這在 $Q$ 裡根本不可能，因為前一章已經證明 $\sqrt{2}$ 是無理數。

把三種情況合起來：

• $s^2<2$ 時，s 甚至不是上界；
• $s^2>2$ 時，s 雖是上界，卻不是最小上界；
• $s^2=2$ 在 $Q$ 中不會發生。

因此，$S$ 在 $Q$ 中沒有 supremum。

稠密不等於完備

很多人此時會直覺地說：

「可是在任意兩個有理數之間，都還能找到更多有理數；這樣還不夠嗎？」

這句話把兩件事混在一起了：

• 稠密是指：兩個不同有理數之間，總能再找到另一個有理數；
• 完備是指：每個非空有界子集，都在同一個環境裡擁有正確的最小上 界與最大下界。

集合 $S$ 正好說明：即使邊界附近有無窮多個有理逼近，也仍可能缺少真正 的 supremum。

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練習

相關筆記

可先讀 3.5 Q 的缺口與 sqrt(2) 及 4.2 上下界、上確界與下確界。 之後可接著讀 4.4 實數公理與第一次近似構造。