4.1 全序與有序域

為甚麼要先單獨談次序

前面章節重點在於構造 $N$、$Z$、$Q$，再仔細定義它們的運算。到第 4 章時，問題換了：我們不只問「這些數是甚麼」，還要問「它們帶有怎樣 的次序結構」。

這個轉向很重要，因為之後的界、上確界、極限、完備性，全都依賴次序 關係。若連次序本身的性質都沒有釐清，就談不上後面的分析語言。

偏序與全序

這個例子提醒你：「有次序」不等於「任何兩個元素都能比較」。可比較性 必須另外檢查。

子集上的限制次序

一旦環境集合本身是全序，它的任意子集也會自動繼承這個全序。

這一點在後面非常重要，因為我們常常研究像

$$S=\{q\in Q\mid q^2<2\}$$

這種 $Q$ 的子集。我們不是給 $S$ 發明一個全新的次序，而是把 $Q$ 原本的次序限制到 $S$ 上。

$Z$ 與 $Q$ 的標準次序

對整數與有理數，熟悉的大小關係可以寫成：

$$x\le y \quad \text{iff} \quad 0\le y-x.$$

也就是說，比較 x 和 y，可以化成判斷差 $y-x$ 的符號。這樣的寫法很 有用，因為正負、加法與乘法本來就是 $Z$、$Q$ 的代數語言之一。

原因很直接：對任意差 $y-x$，只會出現三種情況之一。它是正、是零，或 是負。於是就分別得到 $x<y$、$x=y$、$x>y$，因此任意兩個元素都能比較。

次序必須和運算配合

次序不是孤立的裝飾。它還要和加法、乘法正確互動。

第一條表示平移不會破壞大小次序。第二條表示兩個非負數相乘，不會無 端變成負數。

若沒有這些相容性，後面有關區間、界、絕對值的論證就會失去基礎。

域與有序域

可以用一種打包方式去總結 $Q$ 的代數結構。

這個定義記住了代數，但還完全沒有提到次序。

因此，有序域不是「一個域再隨便加個比較符號」。它要求代數與次序彼此 一致。

$Q$ 是有序域。之後我們會看到，$R$ 也是有序域，但還比 $Q$ 多一個關鍵 條件：完備性。

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練習

相關筆記

可先讀 3.4 有理數與良定義運算 及 3.5 Q 的缺口與 sqrt(2)。 之後可接著讀 4.2 上下界、上確界與下確界。