4.2 上下界、上確界與下確界

為甚麼極值要說明得這麼精確

一旦一個集合帶有次序，最有意思的問題往往都發生在它的邊界附近：它有沒有最大元素？如果沒有，是否仍有一個最小的「上方障礙」？左邊又有沒有最好的下界？

這裡有一條很重要的概念鏈：

maximum 與 minimum 說明的是集合內部的元素；
upper bound 與 lower bound 可以落在集合外部；
supremum 與 infimum 則是所有這類界之中「最好」的那一個。

若把這些概念混在一起，後面的完備性論證就很難讀清楚，所以這一節要先把它們分開。

最大值、最小值與上下界

定義

最大值、最小值、上界與下界

設 $Y$ 是有序集 $X$ 的子集。

若 $m\in Y$ 且對所有 $y\in Y$ 都有 $y\le m$ ，則 m 是 $Y$ 的 最大值。
若 $n\in Y$ 且對所有 $y\in Y$ 都有 $n\le y$ ，則 n 是 $Y$ 的 最小值。
若 $u\in X$ 且對所有 $y\in Y$ 都有 $y\le u$ ，則 u 是 $Y$ 的上界。
若 $\ell\in X$ 且對所有 $y\in Y$ 都有 $\ell\le y$ ，則 $\ell$ 是 $Y$ 的下界。

關鍵差別在於：最大值、最小值必須屬於集合本身；上界、下界只需要屬於外面的環境有序集。

例題

Z 裡的一個有限集合

設 $Y=\{1,2,3\}\subseteq Z$ 。

最大值是 3；
最小值是 1；
每個 $u\ge 3$ 的整數都是上界；
每個 $\ell\le 1$ 的整數都是下界。

所以這個集合有很多上界與下界，但最大值與最小值各只有一個。

例題

有界不代表有極值元素

把 $Q_{>0}$ 視為 $Q$ 的子集。

0 是 $Q_{>0}$ 的下界，但 0 並不屬於這個集合。事實上， $Q_{>0}$ 沒有最小值，因為對每個正有理數 q，更小的 q/2 仍然是正有理數。

這個例子提醒你：lower bound 與 minimum 不是同一回事。

上確界與下確界

有些上界比另一些更好。supremum 是最小上界；infimum 是最大下界。

定義

上確界與下確界

設 $Y$ 是有序集 $X$ 的非空子集。

$s\in X$ 稱為 $Y$ 的 上確界，記作 $s=\sup(Y)$ ，如果 s 是 $Y$ 的上界，而且每個上界 u 都滿足 $s\le u$ 。
$t\in X$ 稱為 $Y$ 的 下確界，記作 $t=\inf(Y)$ ，如果 t 是 $Y$ 的下界，而且每個下界 $\ell$ 都滿足 $\ell\le t$ 。

這裡的環境集合非常重要。同一個子集，可能在 $R$ 裡有 supremum，但在 $Q$ 裡沒有。

例題

開區間 (0,1)

取 $Y=(0,1)\subseteq R$ 。

$Y$ 沒有最大值，因為 1 不在集合內，而且每個元素右邊仍可找到更大的集合元素；
$\sup(Y)=1$ ；
$Y$ 沒有最小值；
$\inf(Y)=0$ 。

因此，兩個極端的界都存在，但也不屬於集合本身。

為甚麼上確界與下確界是唯一的

定理

一個集合至多只有一個上確界與一個下確界

若 $Y\subseteq X$ 有上確界，那個上確界必定唯一；下確界也一樣。

理由很短，但很重要。若 s 與 s' 都是 $Y$ 的 supremum，則 s 是上界，而 s' 作為「最小上界」就必須滿足 $s'\le s$ 。反過來同理得到 $s\le s'$ 。由反對稱性便得 $s=s'$ 。

對 infimum 的論證完全相同。

用逼近去理解上確界

supremum 的定義還可以改寫成更常用的判準：

$s=\sup(Y)$ 當且僅當 s 是 $Y$ 的上界，而且對每個 $\varepsilon>0$ ，都存在 $y\in Y$ 使 $s-\varepsilon<y\le s$ 。

這告訴你：supremum 不只是上方一堵牆，而是集合中的點可以由下方任意逼近它。

證明

為甚麼這個逼近判準等價

常見錯誤

maximum 比 supremum 更強

maximum 必須屬於集合本身；supremum 只需要在環境有序集中充當最小上界。開區間 (0,1) 的 supremum 是 1，但它沒有 maximum。

常見錯誤

環境有序集不可忽略

寫 $\sup(Y)$ 時，你其實是在某個具體有序集裡工作。 $Q$ 的子集在 $R$ 裡可能有 supremum，但在 $Q$ 裡沒有。後面證明 $Q$ 不完備時，正是利用這一點。

快速檢查

對 Y=(0,1)，它有沒有最大值？sup(Y) 與 inf(Y) 分別是甚麼？

分清集合內元素與外部界。

解答

答案

快速檢查

若集合 A 有最大值 m，則 sup(A) 是甚麼？

直接對照定義。

解答

答案

練習

快速檢查

設 A={1-1/n : n in N}。求 sup(A)、inf(A)，並判斷 A 是否有最大值。

先寫出前幾項，再看趨勢。

解答

引導解答

快速檢查

證明：若 B 非空且下有界，則 inf(B) = -sup(-B)。

把 B 的下界語句翻成 -B 的上界語句。

解答

4.2 上下界、上確界與下確界

MATH1090：集合論

為甚麼極值要說明得這麼精確

最大值、最小值與上下界

最大值、最小值、上界與下界

Z 裡的一個有限集合

有界不代表有極值元素

上確界與下確界

上確界與下確界

開區間 (0,1)

為甚麼上確界與下確界是唯一的

一個集合至多只有一個上確界與一個下確界

用逼近去理解上確界

為甚麼這個逼近判準等價

常見錯誤

maximum 比 supremum 更強

環境有序集不可忽略

快速檢查

對 Y=(0,1)，它有沒有最大值？sup(Y) 與 inf(Y) 分別是甚麼？

答案

若集合 A 有最大值 m，則 sup(A) 是甚麼？

答案

練習

設 A={1-1/n : n in N}。求 sup(A)、inf(A)，並判斷 A 是否有最大值。

引導解答

證明：若 B 非空且下有界，則 inf(B) = -sup(-B)。

引導解答

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