5.2 Cauchy 序列與另一個實數模型

上一頁用一個已知的極限 $L$ 來定義收斂。這一頁要問一個更深的問題：

如果我們還未先知道那個極限是一個現成存在的實數，能否仍然看出一個序列 正在「收斂」？

這個問題把我們帶到 Cauchy 序列，亦帶到實數的第二種構造方式。

為甚麼需要一個內部的收斂測試？

一個很好的動機來自下面這個有理數序列：

$$1,\qquad 1+\frac12,\qquad 1+\frac12+\frac1{3\cdot 2},\qquad 1+\frac12+\frac1{3\cdot 2}+\frac1{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1},\ \ldots$$

從圖像上看，這些項似乎愈來愈貼近數線上的某個點。但如果我們正在嘗試由 $Q$ 去構造實數，就不能一開始便假設那個極限點已經是某個現成的 $R$ 裡元素。

因此，我們不先問「它是否接近某個外在的 $L$」，而是先問：

這個序列的後面那些項，是否彼此愈來愈接近？

Cauchy 序列的定義

這個定義和普通極限定義有相同的量詞骨架，但比較對象變了：

• 在一般收斂定義裡，你拿 $x_n$ 去和固定的 $L$ 比較；
• 在 Cauchy 定義裡，你拿晚期的 $x_n$ 和 $x_m$ 彼此比較。

所以 Cauchy 序列描述的是：尾部會被壓進愈來愈窄的區域內。

為甚麼收斂一定推出 Cauchy？

關鍵命題如下。

完整證明不長；先把關鍵思路看清楚。

這個命題表示：真正的收斂一定會令序列尾部壓縮起來。

等價的 Cauchy 序列

如果 Cauchy 序列要代表實數，那麼兩個「其實指向同一點」的序列，應該要 被視作同一個實數。

這表示：兩個序列的尾部最終可以彼此靠得任意近。直觀上，它們是在描述數 線上的同一個極限點。

接著指出，這個等價關係的確是一個 equivalence relation，而 triangle inequality 是驗證對稱性與傳遞性的核心工具。

用等價類構造 $R$

現在可以把這個想法寫成正式定義。

這是一個重要的觀點轉換：

• 在 Dedekind cut 模型裡，實數是把 $Q$ 分成左右兩邊的切割；
• 在 Cauchy 模型裡，實數是一整個「彼此不可區分」的逼近序列家族。

兩個模型都同樣嚴格，亦都在構造同一個實數系統。

有理數如何嵌入這個模型？

還需要說明：在這個構造中，我們應如何理解有理數本身？最自然的答案 是：有理數 q 由 constant sequence

$$(q,q,q,q,\ldots)$$

所代表。

因此，一個實數不是某條單獨代表序列本身，而是整個等價類。

為甚麼 boundedness 很重要？

下面先使用「每條 Cauchy 序列都是 bounded」這個引理。這件事 非常重要，因為它讓乘法得以順利定義。

若 $(x_n)$ 和 $(y_n)$ 都是 Cauchy，可以證明：

• $(x_n+y_n)$ 仍是 Cauchy；
• $(x_ny_n)$ 仍是 Cauchy。

對乘法來說，需要一個共同上界 $M$，使得

$$|x_my_m-x_ny_n| \le |x_m|\cdot |y_m-y_n|+|y_n|\cdot |x_m-x_n| \le M|y_m-y_n|+M|x_m-x_n|.$$

一旦原來兩條序列本身是 Cauchy，右邊便能被壓得任意小。

等價類上的運算與次序

在知道逐項相加、逐項相乘仍會留在 Cauchy 世界之後，便在等價類上 定義加法與乘法。

若 $[(x_n)]$ 和 $[(y_n)]$ 是此模型中的兩個實數，則

$$[(x_n)] + [(y_n)] := [(x_n+y_n)],$$ $$[(x_n)] \cdot [(y_n)] := [(x_ny_n)].$$

也用代表元在尾部的最終比較來定義次序：若第一個等價類的晚期項最 終都低於第二個等價類的晚期項，就把前者視作不大於後者。

真正嚴格的工作，是要檢查這些定義都是 well-defined。也就是說，換了別 的等價代表元，運算與比較結果也不會改變。

這個構造最後得到甚麼？

課堂裡沒有把每個細節都證到最尾。有些部分留作練習，例如運算的 well-definedness 和最後的完備性驗證。不過概念上的結構很清楚：

• Cauchy 序列抓住了「內部收斂」；
• 等價類避免不同逼近序列替同一個實數起不同名字；
• 完備性被建進這個完成過的系統之中。

快速檢查

練習

相關筆記

建議先讀 5.1 序列與 epsilon-N 極限 及 4.3 完備性與 Q 的缺口。 之後可接着讀 5.3 Delta-epsilon 極限、極限定律與連續性。