5.1 序列與 epsilon-N 極限

先不要急著談函數極限；先把 序列極限說明。這個安排很合理，因為序列只沿着自然數 n 一步一步向前走，所以它是學習正式極限定義最乾淨的入口。

序列是一個函數，不只是一串數字

很多人第一次見到序列時，會把它理解成像

1,2,3,4,\ldots

或者

1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots

這樣的列表。這個熟悉觀念需要被說得更精確。

定義

集合中的序列

設 $X$ 是一個集合。 $X$ 中的一個序列，就是一個函數

N\to X.

若 $n\in N$ 的像記作 $x_n$ ，我們就把這個序列記作 $(x_n)$ 。

所以，一個序列未必一定由某條簡單公式產生。正式要求只有一個：每個自然數 n 都要對應到 $X$ 中某個元素 $x_n$ 。

定義

有理序列與實序列

有理數序列是映射 $N\to Q$ 。實數序列是映射 $N\to R$ 。

這個函數觀點之所以重要，是因為它提醒你：序列有定義域、有值域，也有索引變數。... 只是非正式縮寫，不是數學定義本身。

為甚麼先學序列極限？

對序列來說，「靠近極限」的意思是把索引 n 取到愈來愈大。方向只有一個：往更大的自然數走。

這比函數極限簡單得多。對函數而言，x 可以由左、由右，以無窮多種實數方式靠近某個點 a。所以第 5 章先處理離散版本：

先猜一個候選極限 $L$ ；
再給一個容許誤差 $\varepsilon>0$ ；
然後問：序列的尾部會否最終一直留在 $L$ 周圍半徑 $\varepsilon$ 的帶內？

正式定義

定義

實數序列的極限

一個實數序列 $(x_n)$ 的極限是 $L\in R$ ，如果對每個正實數 $\varepsilon>0$ ，都存在 $N\in N$ 使得當 $n>N$ 時，

|L-x_n|<\varepsilon.

在這種情況下，我們寫作

L=\lim_{n\to\infty}x_n

或者說 $(x_n)$ 收斂到 $L$ 。

一個自然練習是把這個定義寫成符號形式。完整寫法是

\lim_{n\to\infty}x_n=L \iff \forall \varepsilon>0\ \exists N\in N\ \forall n>N,\ |x_n-L|<\varepsilon.

怎樣正確閱讀這串量詞

把定義拆開之後，會清楚很多。

$\forall \varepsilon>0$ ：不是只要對某一個誤差帶成立，而是對每一個正誤差帶都要成立。
$\exists N\in N$ ：當別人先指定了 $\varepsilon$ 之後，你可以按這個 $\varepsilon$ 去選一個尾部起點 $N$ 。
$\forall n>N$ ：一旦越過這個 $N$ ，之後每一項都要留在該誤差帶內。

因此，收斂是一個關於尾部的陳述。前面有限多項可以表現得很差，問題不大；關鍵在於夠後面的項有沒有穩定地留在 $L$ 附近。

常見錯誤

N 可以依賴 epsilon，但不可以依賴 n

證明收斂時，你可以在給定 $\varepsilon$ 之後選 $N$ 。但一旦 $N$ 定了，不等式就要對所有 $n>N$ 同時成立。你不可以對不同的 n 再另外挑不同的 $N$ 。

常見錯誤

收斂不是看前面幾項

改動有限多個起始項，不會改變一個序列是否收斂，因為定義真正控制的是某個 $N$ 之後的整段尾部。

第一個例子：`1/n \to 0`

Example 17 說明

\frac11,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots

的極限是 0。以下把證明完整寫出。

例題

證明 `\lim_{n\to\infty} 1/n = 0`

任取 $\varepsilon>0$ 。我們想要

\left|\frac1n-0\right|<\varepsilon,

也就是

\frac1n<\varepsilon.

這只要在

n>\frac1\varepsilon

時便成立。

因此取一個自然數 $N$ 使 N>1/\varepsilon。則每當 $n>N$ ，

\left|\frac1n-0\right|=\frac1n<\varepsilon.

故

\lim_{n\to\infty}\frac1n=0.

這就是最典型的極限證明套路：先由 $|x_n-L|$ 出發，把它化簡，再迫使 n 夠大。

第二個例子： $\frac{5n+2}{3n-7} \to \frac53$

Example 18 給出一個有理函數型的序列。

例題

證明 $\lim_{n\to\infty}\frac{5n+2}{3n-7}=\frac53$

先計算

\left|\frac{5n+2}{3n-7}-\frac53\right| = \left|\frac{3(5n+2)-5(3n-7)}{3(3n-7)}\right| = \left|\frac{41}{3(3n-7)}\right|.

當 n 夠大時，分母為正，所以

\left|\frac{41}{3(3n-7)}\right|=\frac{41}{3(3n-7)}.

再取 $N$ 足夠大，使得 $n>N$ 時有 $3n-7\ge 2n$ 。於是

\frac{41}{3(3n-7)}\le \frac{41}{6n}.

所以只要再令

\frac{41}{6n}<\varepsilon

便足夠。

換言之，我們可以把 $N$ 取得更大，令 $n>N$ 時同時滿足 $3n-7\ge 2n$ 與 n>41/(6\varepsilon)。那麼

\left|\frac{5n+2}{3n-7}-\frac53\right|<\varepsilon.

因此

\lim_{n\to\infty}\frac{5n+2}{3n-7}=\frac53.

雖然這個例子的代數計算較長，但邏輯結構和 1/n 完全一樣：把誤差項改寫成一個隨 n 變大而變小的量。

一個簡單但重要的特例

對常值序列 $x_n=0$ ，極限可以直接看出。

例題

常數序列收斂到其常數值

若對所有 n 都有 $x_n=0$ ，那麼對每個 $\varepsilon>0$ ，

|x_n-0|=0<\varepsilon

對所有自然數 n 都成立。

因此任何自然數都可以當作 $N$ ，所以

\lim_{n\to\infty}x_n=0.

這個小例子值得記住，因為它讓你看到：當誤差本身恆等於零時，定義是如何被立即滿足的。

從幾何角度看收斂

若 $\lim_{n\to\infty}x_n=L$ ，那就表示不論你在 $L$ 周圍畫一個多窄的誤差帶，序列的尾部最終也會整段留在這個帶內。

等價地說：

你可以容許有限多個初始項不受控制；
但在某個位置之後，序列不能再反覆跑出 $\varepsilon$ -帶外。

這就是為甚麼「有很多項接近 $L$ 」仍然不夠。收斂要求的是：所有充分後面的項都要接近 $L$ 。

序列尾部進入 epsilon 帶

圖：收斂不只表示「看見一些項靠近 $L$ 」。真正的要求是：從某個足夠大的 $N$ 之後，整條尾部都要留在所選的 $\varepsilon$ 帶內。

互動地比較尾部行為

下面的 explorer 可以讓你切換不同序列、不同 $\varepsilon$ ，並查看第一個有效的 $N$ 。真正要看的重點是：從那個 $N$ 之後，表格中的尾部是否一直留在候選極限周圍的 $\varepsilon$ -帶內。

邊讀邊試

測試數列尾部能否留在 epsilon 帶內

這個工具用「尾部能否被某條 epsilon 帶困住」來比較收斂與不收斂的數列。

各項穩定縮小，所以一旦選定 epsilon，到了某個位置之後，所有後面的項都會落在 0 周圍的帶內。

候選極限 L

Epsilon ε

0.2

尾部起點 N

項序 n	數列項 x_n	帶內測試 \|x_n - L\| < ε
1	1	否
2	0.5	否
3	0.3333	否
4	0.25	否
5	0.2	否
6	0.1667	是
7	0.1429	是
8	0.125	是
9	0.1111	是
10	0.1	是
11	0.0909	是
12	0.0833	是

判斷: 從 N = 5 之後開始，每個被檢查的項都留在 L 周圍的帶內。

快速檢查

在 $\lim_{n\to\infty}x_n=L$ 的定義裡，N 的角色是甚麼？

用「尾部」的語言回答。

解答

答案

快速檢查

為甚麼把一個收斂序列的頭十項改掉，不會破壞其收斂性？

想想定義真正控制的是哪些索引。

解答

答案

快速檢查

對於序列 $x_n=0$ ，是否可以用同一個 N 應付所有 epsilon？

利用誤差恆等於零這件事。

解答

答案

練習

快速檢查

把序列極限的定義完整寫成符號形式。

不要漏掉量詞次序。

解答

引導解答

快速檢查

直接用定義證明 `\lim_{n\to\infty} 1/(2n)=0`。

把它和 1/n 的證明對照。

解答

引導解答

快速檢查

為甚麼『有無限多項接近 L』仍不足以推出收斂？

把「無限多項」和「所有充分後面的項」作比較。

解答

5.1 序列與 epsilon-N 極限

MATH1090：集合論

序列是一個函數，不只是一串數字

集合中的序列

有理序列與實序列

為甚麼先學序列極限？

正式定義

實數序列的極限

怎樣正確閱讀這串量詞

N 可以依賴 epsilon，但不可以依賴 n

收斂不是看前面幾項

第一個例子：`1/n \to 0`

證明 `\lim_{n\to\infty} 1/n = 0`

第二個例子： $\frac{5n+2}{3n-7} \to \frac53$

證明 $\lim_{n\to\infty}\frac{5n+2}{3n-7}=\frac53$

一個簡單但重要的特例

常數序列收斂到其常數值

從幾何角度看收斂

互動地比較尾部行為

測試數列尾部能否留在 epsilon 帶內

快速檢查

在 $\lim_{n\to\infty}x_n=L$ 的定義裡，N 的角色是甚麼？

答案

為甚麼把一個收斂序列的頭十項改掉，不會破壞其收斂性？

答案

對於序列 $x_n=0$ ，是否可以用同一個 N 應付所有 epsilon？

答案

練習

把序列極限的定義完整寫成符號形式。

引導解答

直接用定義證明 `\lim_{n\to\infty} 1/(2n)=0`。

引導解答

為甚麼『有無限多項接近 L』仍不足以推出收斂？

引導解答

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實數序列的極限

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N 可以依賴 epsilon，但不可以依賴 n

收斂不是看前面幾項

第一個例子：1/n \to 0

證明 \lim_{n\to\infty} 1/n = 0

第二個例子：5n+23n−7→53\frac{5n+2}{3n-7} \to \frac533n−75n+2​→35​

證明 lim⁡n→∞5n+23n−7=53\lim_{n\to\infty}\frac{5n+2}{3n-7}=\frac53limn→∞​3n−75n+2​=35​

一個簡單但重要的特例

常數序列收斂到其常數值

從幾何角度看收斂

互動地比較尾部行為

測試數列尾部能否留在 epsilon 帶內

快速檢查

在 lim⁡n→∞xn=L\lim_{n\to\infty}x_n=Llimn→∞​xn​=L 的定義裡，N 的角色是甚麼？

答案

為甚麼把一個收斂序列的頭十項改掉，不會破壞其收斂性？

答案

對於序列 xn=0x_n=0xn​=0，是否可以用同一個 N 應付所有 epsilon？

答案

練習

把序列極限的定義完整寫成符號形式。

引導解答

直接用定義證明 \lim_{n\to\infty} 1/(2n)=0。

引導解答

為甚麼『有無限多項接近 L』仍不足以推出收斂？

引導解答

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在 $\lim_{n\to\infty}x_n=L$ 的定義裡，N 的角色是甚麼？

對於序列 $x_n=0$ ，是否可以用同一個 N 應付所有 epsilon？

直接用定義證明 `\lim_{n\to\infty} 1/(2n)=0`。