8.1 多項式運算與除法

為甚麼多項式需要自己的算術

多項式看似只是 $x^4-3x^3+2x^2+4x-1$ 這類熟悉表達式，但第 8 章會把它 當成一個完整的算術系統來處理。我們不只是代入數值或展開括號，而是要建立 一套足以支持「帶餘除法」、最大公因式、因式分解與後面部分分式分解的語言。

除非特別說明，本章係數都取自 $R$。同一套定義也適用於任何域 $F$，例如 $Q$、$R$ 或 $C$。

多項式作為有限形式和

「形式」這個字很重要。多項式不是某個單一 x 值下的函數值，而是一整列係數 資料；只要係數固定，整個多項式就固定。

若至少有一個係數非零，p(x) 的次數是使 $a_i\ne0$ 的最大指標 i。若所有 係數都是零，我們稱它為零多項式，並約定

$$\deg(0)=-\infty.$$

這個約定可以令許多次數公式不用一直把零多項式分開處理。

若首項係數是 1，多項式稱為 monic。例如 $x^3-4x+7$ 是 monic，而 $2x^3-4x+7$ 不是。

加法、乘法與次數

設

$$p(x)=\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i,\qquad q(x)=\sum_{i=0}^{\infty}b_ix^i.$$

加法是逐項相加：

$$p(x)+q(x)=\sum_{i=0}^{\infty}(a_i+b_i)x^i.$$

乘法則使用卷積公式：

$$p(x)q(x)=\sum_{i=0}^{\infty}d_ix^i,\qquad d_i=\sum_{k=0}^{i}a_kb_{i-k}.$$

因為非零係數只有有限多個，乘積仍然是多項式。

第一條可能是嚴格不等式，因為最高次項可以抵消。例如

$$(x^2+1)+(-x^2+x)=x+1.$$

乘法規則較強：若 p、q 非零且首項係數分別為 $a_r$、$b_s$，則 pq 中 $x^{r+s}$ 的係數是 $a_rb_s$，它不會是零。

多項式除法算法

本節的核心結構結果是整數除法的多項式版本。它說明用非零多項式作除數時， 存在唯一商式與唯一餘式，而且餘式次數小於除式次數。

存在性的證明用最小次數思想。考慮所有 $f(x)-g(x)s(x)$。若其中有零，餘式就是 零；否則取一個次數最小者。若它的次數仍不小於 $\deg g$，就減去適當的 g(x) 倍數以消去最高次項，得到次數更小的元素，矛盾。

唯一性同樣重要。若

$$f=gq_1+r_1=gq_2+r_2$$

且兩個餘式次數都小於 g，則

$$g(q_1-q_2)=r_2-r_1.$$

左邊若非零，次數至少是 $\deg g$；右邊次數嚴格小於 $\deg g$。因此兩邊都必為 零，故 $q_1=q_2$ 且 $r_1=r_2$。

由代入取得餘式

當除式是一次式時，除法算法會變成非常實用的定理。

因為餘式次數小於 1，它只能是常數 $R$。寫成

$$f(x)=(x-a)q(x)+R$$

並代入 $x=a$，便得 $f(a)=R$。

因式定理把代數因式與根連起來：一個根給出一個一次因式，而一個一次因式也給出 一個根。

非零多項式可以有多少個根？

因式定理給出根的數量上界。

證明可對次數歸納。若 f 有根 a，則 $f(x)=(x-a)q(x)$ 且 $\deg q=\deg f-1$。除了 a 以外，f 的每個根也會是 q 的根，於是由歸納 假設得到上界。

因此，若一個次數至多 n 的多項式有 $n+1$ 個相異根，它必定是零多項式。

證明思路

多項式除法算法不只是長除法表格，而是一個有存在性與唯一性的定理。存在性可用 「次數下降」來理解。考慮所有 $f-gs$ 這種形式的多項式，若其中有零就完成；否則 選一個次數最小者。若它的次數仍不小於 g 的次數，就可以用 g 的適當倍數消去 它的最高次項，得到同一集合中次數更低的元素，與「最小」矛盾。

唯一性則來自次數比較。若有兩組商式與餘式，同時滿足 $f=gq_1+r_1=gq_2+r_2$，相減得 $g(q_1-q_2)=r_2-r_1$。左邊若非零，次數至少是 $\deg g$；右邊因為是兩個合法餘式之差，次數必小於 $\deg g$。兩種要求不能同時 成立，所以兩邊都必為零，商式與餘式唯一。

這個思路會在下一節再次出現。多項式 Euclidean algorithm 能夠停止，是因為每一步 都產生次數嚴格下降的餘式。對多項式而言，次數扮演了整數算法中「大小」的角色： 它可以下降，但不能無限下降。

如何讀多項式長除法

長除法表不應被看成一串神秘排列。它只是重複做「消去最高次項」。在 Example 8.0 中，第一步比較

$$\frac{x^4}{x^2}=x^2.$$

選 $x^2$ 是因為 $x^2(x^2-2x+3)$ 的最高次項正好是 $x^4$，可以消去被除式的 最高次項。相減後，餘下式子變成 $-x^3-x^2+4x-1$。同樣邏輯給出下一個商式項 $-x$，因為 $(-x^3)/x^2=-x$；再下一步給出 $-3$。當餘式變成 $x+8$ 時，它的次數 是 1，已小於除式的 2，所以必須停止。停止條件不是「看起來夠簡單」，而是 定理中的次數條件。

常見錯誤

總結

本節建立第 8 章後續內容所需的代數基礎。多項式是有限支撐的形式和；次數記錄最高 非零係數的位置，並控制加法、乘法與除法。除法算法給出唯一商式與餘式；餘式定理把 除以 $x-a$ 轉化為代入 a；因式定理把根與一次因式連起來；根數上界則說明為何 過多相異根會迫使多項式成為零多項式。

練習閱讀指南

做本節練習時，要把三件事分開。第一，代數變形必須保持正在討論的多項式恆等式。 第二，只要出現餘式，就要同時檢查餘式次數是否真的小於除式次數。第三，要分清題目 是在要求計算，還是在要求對一類多項式作一般證明。

關於次數的題目，先檢查最高次項會否抵消。和式的次數規則只給上界；兩個四次多項式 相加後可能變成二次、一次、常數，甚至零。乘積則不同：只要兩個因式都非零，最高次項 的係數相乘仍非零，所以次數會精確相加。

關於餘式與因式定理的題目，不要急著長除。若除式是 $x-a$，直接代入 a；若除式是 $(x-1)(x+1)$ 這類乘積，先用次數界限把餘式設成 $ax+b$，再用根處的函數值決定係數。 而 roots-of-unity 證明題的核心也不是展開大多項式，而是在 $\omega$ 與 $\omega^2$ 代入後，把問題化成關於 f(1)、g(1) 的兩條線性方程。

快速檢查

Exercises

1. 設 $p(x)=3x^4-x^2+2$、$q(x)=-3x^4+5x+1$。先判斷 $p+q$ 可能的最高次數， 再計算它的實際次數。
2. 將 $x^4-3x^3+2x^2+4x-1$ 除以 $x^2-2x+3$。
3. 用餘式定理求 $x^5-2x^2+7$ 除以 $x+1$ 的餘式。
4. 假設 $f(1)=5$ 且 $f(-1)=3$。重建 f 模 $x^2-1$ 的餘式。
5. 證明投影片 Exercise 8.1：若 $F(x)=f(x^3)$、$G(x)=g(x^3)$，且 $F(x)+xG(x)$ 可被 $x^2+x+1$ 整除，則 f(x) 與 g(x) 都可被 $x-1$ 整除。