4.6 小數展開與無理數

為甚麼引入分割之後又回到小數？

讀完 4.5 之後，一個很自然的反應是：

「Dedekind 分割是可行，但為甚麼偏偏是這個構造？」

§4.9 在結構層面回答了這個疑問。重點不是說 Dedekind 分割是唯一能想出 來的構造，而是：只要某個構造真的做出一個完備有序域，那它在數學意義 上做出來的就是實數。

這門課在這裡不證明這個定理，但它說明了：我們可以自在地來回切換於形式 構造與學生早已熟悉的小數直覺之間。

由小數展開得到分割

考慮一個非正式的小數展開

$$x=10.4352902543\ldots$$

先從它造出兩族有理數。

先看由下逼近：

$$S=\{10,\ 10.4,\ 10.43,\ 10.435,\ldots\}.$$

然後定義

$$A=\{q\in Q\mid \exists s\in S\text{ 使得 }q<s\}.$$

再看由上逼近：

$$T=\{11,\ 10.5,\ 10.44,\ 10.436,\ldots\}.$$

然後定義

$$B=\{q\in Q\mid \exists t\in T\text{ 使得 }q>t\}.$$

主張是：(A,B) 就是一個 Dedekind 分割。也就是說，一個熟悉的 小數展開可以被轉換成上一頁引入的那種邊界對象。

為甚麼這真的是一個 Dedekind 分割

用單集合版本的定義最容易檢查。

• $A$ 非空，因為例如 $9<10$，所以 $9\in A$。

• $A$ 不是整個 $Q$，因為 $T$ 裡的每條上方圍欄都嚴格高於 $S$ 裡每條下 方圍欄，所以像 11 這種數不可能落在任何一條下方圍欄之下。

• $A$ 向下封閉：若 $q<s$ 對某個 $s\in S$ 成立，而 $y<q$，那麼 $y<s$ 也成立，所以 $y\in A$。

• $A$ 沒有最大元素：若 $q\in A$，挑一個 $s\in S$ 使 $q<s$，再令

  $$r=\frac{q+s}{2}.$$

  就有 $q<r<s$，所以 $r\in A$。

因此，這個小數展開確實被轉成了 cut 模型中的一個真正實數。

這正好體現了第 4 章的整體方法：看似非正式的描述，只要改寫成有理數次序 資料，就能變成嚴格數學對象。

由分割反推出小數展開

一個反向練習是：給定一個 Dedekind 分割，如何產生 對應的小數展開？

想法其實很系統。

1. 先找整數部分，也就是找出仍然留在左集合中的最大整數。
2. 再測試十分位，保留仍然在左集合中的最大候選。
3. 接著測試百分位、千分位，如此類推。

每一步，你都在選擇「仍然留在 cut 左邊的最大十進位截斷」。這會產生一串 愈來愈窄的有理區間，而它們的寬度趨向 0。

所以在這套理論裡，小數位不是實數的原始定義；它是從分割透過重複逼近所 恢復出來的表示法。

圖：每揭示多一位小數，便得到更窄的一條有理區間，而 $\sqrt{2}$ 始終留 在所有這些區間裡。

用互動方式建立小數圍欄

下面的 builder 會逐位揭示小數，並同步更新下界、上界與區間寬度，讓你看 到「小數展開」其實是在構造一串愈來愈緊的有理圍欄。

無理數

所以「無理」並不表示神祕、未定義，或無法描述；它只表示這個實數不是任 何一個有理 cut $q_R$。

定義 $\sqrt2$ 的那個分割

一個具體例子是。考慮

$$A=\{r\in Q\mid r\le 0\text{ 或 }r^2<2\},$$

以及

$$B=Q\setminus A=\{r\in Q\mid r>0\text{ 且 }r^2>2\}.$$

這個對應的分割就是平方等於 2 的正實數。

由於第 3 章已證明沒有任何有理數的平方會等於 2，這個分割不可能是有理 分割。因此 $\sqrt2$ 是無理數。

快速檢查

練習

相關筆記

請先讀 4.5 Dedekind 分割與 Q 的嵌入。 這兩頁一起完成了第 4 章裡最核心的一步：由 $Q$ 中缺失的 supremum，走到 由有理近似支撐的實數正式構造。