4.5 Dedekind 分割與 Q 的嵌入

為甚麼現在要引入分割？

上一頁的核心圖像是：

• 一個實數應該決定 $Q$ 裡哪些有理數在它左邊；
• 它也應該決定哪些有理數在它右邊；
• 這個實數本身可以看成左右兩邊之間的邊界。

下一步就是把這個圖像正式化。關鍵一步是：我們 不再先假設實數已經存在，再去問哪些有理數比它小；相反，我們直接用 $Q$ 裡左邊那一半去定義這個實數。

這就是 Dedekind 分割 的基本想法。

兩個等價定義

換句話說，$A$ 是整個左半邊，$B$ 是整個右半邊。兩邊沒有重疊，也沒有漏 掉任何有理數，而左半邊不能把邊界本身視為最後一點收進去。

第二種寫法通常更方便。因為只要知道左邊集合 $A$，右邊就自動是 $Q\setminus A$。所以一個分割其實就是：哪些有理數已經被判定在這條邊 界左邊。

每個條件到底在做甚麼

定義很短，但每一條也不是裝飾。

• $A\ne\varnothing$ 和 $A\ne Q$ 排除了沒有左邊或沒有右邊的假分割。
• 向下封閉表示：若某個有理數已經在左邊，那麼更小的有理數也一定在左 邊。
• 「沒有最大元素」表示：邊界本身不會被收成 $A$ 的最後一點；你永遠可 以在左邊再往右走一點點。

最後這條最微妙，也最重要。它正是避免同一個有理數被表示兩次的關鍵。

有理分割與 $Q$ 的嵌入

稱 （A,B） 為有理 Dedekind 分割，如果 $B$ 有最小元 素。在這種情況下，邊界其實已經由某個有理數實現。

若 $\min(B)=q$，那就必定有

$$A=\{x\in Q\mid x<q\}.$$

這就帶來記號

$$q_R=\{x\in Q\mid x<q\}.$$

所以每個有理數 q 都給出一個 Dedekind 分割 $q_R$，而映射

$$i:Q\to R,\qquad i(q)=q_R$$

就把 $Q$ 嵌入到 cut 模型的實數系統裡。

這一點在概念上很重要。Dedekind 分割不是把有理數丟掉重來，而是在 $Q$ 裡補上原本缺失的邊界。

分割上的次序與最初的運算

光是定義出所有分割組成的集合 $R$ 還不夠。為了回應上一頁的目標， 還要在 $R$ 上定義次序與算術。

對次序來說，最自然的規則是：

$$A\le A' \quad\text{當且僅當}\quad A\subseteq A'.$$

這正是左邊集合應有的比較方式。若 $A$ 左邊的每個有理數也都在 A' 左 邊，那麼 $A$ 代表的邊界不可能在 A' 的右邊。

對加法，定義

$$A+A'=\{a+a' \mid a\in A,\ a'\in A'\}.$$

直觀上，兩個邊界的和，其左邊應由「第一個邊界左邊的有理數」加上「第 二個邊界左邊的有理數」所產生。

對乘法，先處理非負分割，再藉由符號規則延伸到一般情況。當 $0_R\le A$ 且 $0_R\le A'$ 時，它使用

$$A\cdot A' = \{aa' \mid a\in A,\ a'\in A',\ a\ge 0,\ a'\ge 0\}\cup\{x\in Q\mid x<0\}.$$

這比加法更技術性，但精神一樣：只用已經在左右邊界內部的有理資料來建 立新邊界的左邊。

完整證明並不短，但總結非常乾淨：Dedekind 分割正好完成了第 4 章對實數 模型提出的要求。

在數線上看這條邊界

圖：一個分割會把邊界左邊的所有有理數都收進左集合。當邊界是 $\sqrt{2}$ 時，右邊沒有最小的有理數。

用互動方式比較有理 cut 與無理 cut

下面的 explorer 把有理邊界 3/2 與無理邊界 $\sqrt{2}$ 並排放在一起。最 值得觀察的是：右邊那一側究竟會不會由某個最小的有理數開始。

常見錯誤

快速檢查

練習

相關筆記

請先讀 4.4 實數公理與第一次近似構造。 然後繼續讀 4.6 小數展開與無理數， 那一頁會把 Dedekind 分割重新連到熟悉的小數記號，並用 $\sqrt2$ 介紹無 理數。