7.1 行列式與餘因子展開

行列式會為一個方陣配上一個數。這個數並不是裝飾。之後它會告訴你矩陣是否可逆、行與列變換怎樣影響矩陣，以及某些方形線性系統如何用公式解出。

代價是，行列式的定義比矩陣加法或數乘細緻得多。行列式只對方陣定義，而且它是由較小尺寸的行列式遞迴建出來的。

為甚麼這一節重要

如果你只背

\det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=ad-bc,

你就會錯過真正的結構。這一節要做的，是說明這個公式從何而來、為甚麼符號會交替，以及為甚麼沿着一條選得好的行或列展開，可以把一個困難計算變得可控制。

定義

子矩陣、子式與餘因子

設 $A=[a_{ij}]$ 是一個 $n\times n$ 矩陣。

固定 i 與 j，刪去第 i 行與第 j 列，得到的 $(n-1)\times(n-1)$ 矩陣記作 $A(i\mid j)$ 。

項 $a_{ij}$ 的子式定義為

M_{ij}=\det(A(i\mid j)).

項 $a_{ij}$ 的 餘因子 定義為

A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.

因子 $(-1)^{i+j}$ 產生棋盤式的正負號：

\begin{bmatrix} + & - & + & \cdots\\ - & + & - & \cdots\\ + & - & + & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}.

定義

用餘因子展開定義行列式

若 $A=[a_{11}]$ 是 $1\times1$ 矩陣，就定義

\det(A)=a_{11}.

若 $A=[a_{ij}]$ 是 $n\times n$ 矩陣且 $n>1$ ，就沿第一行作展開：

\det(A)=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+\cdots+a_{1n}A_{1n}.

等價地，

\det(A)=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+\cdots+(-1)^{1+n}a_{1n}M_{1n}.

這個定義是遞迴的。 $4\times4$ 行列式會被拆成幾個 $3\times3$ 行列式，而每個 $3\times3$ 行列式又會被拆成 $2\times2$ 行列式，最後再回到 $1\times1$ 的基本情況。

第一批例子

例題

熟悉的 2×2 公式其實來自定義

設

A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}.

第一行的餘因子是

A_{11}=(-1)^{1+1}a_{22}=a_{22}, \qquad A_{12}=(-1)^{1+2}a_{21}=-a_{21}.

所以

\det(A)=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12} =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.

因此常見的 $ad-bc$ 公式並不是另一條獨立定理，而是遞迴定義在 $2\times2$ 情況下的具體寫法。

例題

用餘因子展開計算一個 3×3 行列式

令

B= \begin{bmatrix} 3&2&-1\\ 4&1&6\\ -3&-1&2 \end{bmatrix}.

沿第一行展開：

\det(B)=3 \begin{vmatrix} 1&6\\ -1&2 \end{vmatrix} -2 \begin{vmatrix} 4&6\\ -3&2 \end{vmatrix} (-1) \begin{vmatrix} 4&1\\ -3&-1 \end{vmatrix}.

先算三個 $2\times2$ 行列式：

\begin{vmatrix} 1&6\\ -1&2 \end{vmatrix}=1\cdot2-6(-1)=8,

\begin{vmatrix} 4&6\\ -3&2 \end{vmatrix}=4\cdot2-6(-3)=26,

\begin{vmatrix} 4&1\\ -3&-1 \end{vmatrix}=4(-1)-1(-3)=-1.

因此

\det(B)=3(8)-2(26)+(-1)(-1)=24-52+1=-27.

沿着零較多的行去展開

直接展開通常很貴。餘因子展開真正有用之處，在於你可以挑選一條最省工的行或列。

定理

可沿任意一行作餘因子展開

對任意固定的第 i 行，若 $A=[a_{ij}]$ 是 $n\times n$ 矩陣，則

\det(A)=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}.

等價地，

\det(A)=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}.

所以雖然定義是沿第一行寫出的，但同一個行列式其實可以沿任何一行展開。

例題

選一條可以消掉最多工作的行

令

C= \begin{bmatrix} 1&9&7&7\\ 0&5&2&5\\ 1&9&8&0\\ 1&9&8&3 \end{bmatrix}.

沿第二行展開比沿第一行展開更好，因為第二行第一項本身已經是 0：

\det(C)= 0\cdot A_{21} +5A_{22} +2A_{23} +5A_{24}.

這樣只剩三個 $3\times3$ 行列式，而不是四個。實際計算時，最好的那條行或列通常就是零最多、或者數字最簡單的那一條。

從定義直接得到的快結論

只要容許你沿適當的行或列展開，不少實用定理都會立即出現。

定理

有零行或零列，行列式就是 0

若一個方陣有一整行都是 0，則其行列式等於 0。同樣地，若它有一整列都是 0，行列式亦等於 0。

零行的說法是立刻可見的：直接沿那一行展開即可。零列的說法則是同一個結構從列的角度再看一次。

定理

某行或某列只有一個非零項時，可以立刻縮小尺寸

若方陣 $C$ 的第 k 行最多只有一個非零項，而該項位於 $(k,\ell)$ ，則

\det(C)=c_{k\ell}(-1)^{k+\ell}\det(C(k\mid \ell)).

若第 $\ell$ 列最多只有一個非零項，而且該非零項位於第 k 行，也有同樣的結論。

這條定理正式表達了初學者常用的直覺：若某行或某列幾乎全是零，就應該立即利用它。

定理

三角矩陣的行列式很容易讀

若 $T$ 是上三角或下三角矩陣，則

\det(T)=t_{11}t_{22}\cdots t_{nn},

也就是對角線各項的乘積。

這就是之後我們如此重視行化簡的原因。若你能把矩陣化到三角形，同時又準確記錄行列式怎樣改變，那最終的值就會很容易讀出。

例題

三角矩陣只需看對角線

對

T= \begin{bmatrix} 2&3&4\\ 0&5&7\\ 0&0&-1 \end{bmatrix},

不需要做完整展開。因為 $T$ 是上三角矩陣，

\det(T)=2\cdot5\cdot(-1)=-10.

對角線以上的數字對矩陣本身當然重要，但在這種三角情況下，它們不會影響行列式公式。

多重線性與交替性

行列式並不是對整個矩陣一次過線性的，但若把其他各行固定，它對其中一行是線性的。

定理

固定其他各行後，行列式對某一行是線性的

固定某個方陣除了第 p 行以外的所有行。若新的第 p 行是

\alpha u+\beta v,

那麼行列式便會拆成

\det(\text{同樣其他各行,但第 p 行是 }\alpha u+\beta v) =\alpha\det(\text{同樣其他各行,但第 p 行是 }u) +\beta\det(\text{同樣其他各行,但第 p 行是 }v).

所以行列式是對每一行分別線性的。

定理

若有兩行相同，行列式必為 0

若一個方陣有兩行完全相同，則它的行列式等於 0。

這件事揭示了行列式衡量的是獨立性，而不只是大小。若你重複了一行，矩陣便沒有提供新的方向，帶符號面積或帶符號體積就會塌縮。

證明

為甚麼重複的兩行會逼出 0

常見錯誤

行列式只屬於方陣

很多人會不自覺地問一個 $2\times3$ 或 $3\times2$ 矩陣的行列式是甚麼。不要這樣做。行列式只對方陣定義，因為遞迴的子式構造必須每次都從一個方陣刪去一行一列，並且仍然保持是方陣。

快速檢查

$\det\begin{bmatrix}4\end{bmatrix}$ 是多少？

回想遞迴定義的基本情況。

解答

答案

快速檢查

為甚麼沿着零較多的行去展開會比較聰明？

想想展開式中會剩下多少個非零項。

解答

答案

快速檢查

若一個對角矩陣的對角線項是 `2`、 $-1$ 、`5`，它的行列式是多少？

用三角矩陣公式。

解答

答案

練習

快速檢查

用餘因子定義計算 $\det\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$ 。

先把第一行的兩個餘因子寫出來，再代回去。

解答

引導解答

快速檢查

用最合適的行或列展開，求 $\det\begin{bmatrix}2&0&1\\0&3&0\\4&0&5\end{bmatrix}$ 。

先找零最多的一行或一列。

解答

引導解答

快速檢查

解釋為甚麼有一條零行的矩陣不可能可逆。

把本節結論與下一節的可逆性判準連起來。

解答

7.1 行列式與餘因子展開

MATH1030：線性代數 I

為甚麼這一節重要

子矩陣、子式與餘因子

用餘因子展開定義行列式

第一批例子

熟悉的 2×2 公式其實來自定義

用餘因子展開計算一個 3×3 行列式

沿着零較多的行去展開

可沿任意一行作餘因子展開

選一條可以消掉最多工作的行

從定義直接得到的快結論

有零行或零列，行列式就是 0

某行或某列只有一個非零項時，可以立刻縮小尺寸

三角矩陣的行列式很容易讀

三角矩陣只需看對角線

多重線性與交替性

固定其他各行後，行列式對某一行是線性的

若有兩行相同，行列式必為 0

為甚麼重複的兩行會逼出 0

常見錯誤

行列式只屬於方陣

快速檢查

det⁡[4]\det\begin{bmatrix}4\end{bmatrix}det[4​] 是多少？

答案

為甚麼沿着零較多的行去展開會比較聰明？

答案

若一個對角矩陣的對角線項是 2、−1-1−1、5，它的行列式是多少？

答案

練習

用餘因子定義計算 det⁡[1234]\det\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}det[13​24​]。

引導解答

用最合適的行或列展開，求 det⁡[201030405]\det\begin{bmatrix}2&0&1\\0&3&0\\4&0&5\end{bmatrix}det​204​030​105​​。

引導解答

解釋為甚麼有一條零行的矩陣不可能可逆。

引導解答

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$\det\begin{bmatrix}4\end{bmatrix}$ 是多少？

若一個對角矩陣的對角線項是 `2`、 $-1$ 、`5`，它的行列式是多少？

用餘因子定義計算 $\det\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$ 。

用最合適的行或列展開，求 $\det\begin{bmatrix}2&0&1\\0&3&0\\4&0&5\end{bmatrix}$ 。