9.4 Cauchy-Schwarz 與三角不等式

內積給你長度與夾角的公式。接下來的問題是：這些公式究竟受到甚麼限制？

答案主要由兩條不等式統治：

Cauchy-Schwarz 不等式控制內積的大小，不會超過兩個向量長度的乘積；
三角不等式說明，由 0 走到 $u+v$ 的直路，永遠不會比先走 u 再走 v 更長。

它們不是可有可無的技術細節，而是讓歐氏幾何可以代數化的核心估計。

Cauchy-Schwarz 不等式

定理

Cauchy-Schwarz 不等式

對所有向量 $v,w\in\mathbb{R}^m$ ，

|\langle v,w\rangle|\le\|v\|\,\|w\|.

而且等號成立當且僅當 v 與 w 線性相關。

這條不等式表示：內積的絕對值，不可能大過兩個向量長度的乘積。正因如此，夾角公式

\cos\theta=\frac{\langle v,w\rangle}{\|v\|\,\|w\|}

才有意義，因為右邊永遠落在 $-1$ 與 1 之間。

證明

用二次多項式證明

例題

數值檢查 Cauchy-Schwarz

令

v= \begin{bmatrix} 1\\2\\3 \end{bmatrix}, \qquad w= \begin{bmatrix} 4\\5\\6 \end{bmatrix}.

則

\langle v,w\rangle=32, \qquad \|v\|=\sqrt{14}, \qquad \|w\|=\sqrt{77}.

所以

|\langle v,w\rangle|=32, \qquad \|v\|\,\|w\|=\sqrt{14\cdot77}=\sqrt{1078}\approx32.83.

確實有

32\le32.83.

三角不等式

定理

三角不等式

對所有向量 $u,v\in\mathbb{R}^m$ ，

\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|.

而且等號成立當且僅當 u 與 v 其中一個是另一個的非負純量倍。

幾何意思很直接：三角形的一邊，永遠不會比另外兩邊的總和更長。

證明

由 Cauchy-Schwarz 推出三角不等式

定理

反向三角不等式

對所有向量 $u,v\in\mathbb{R}^m$ ，

\|u-v\|\ge\bigl|\|u\|-\|v\|\bigr|.

而等號條件與前面相同。

這個版本在你需要下界而不是上界時，往往更容易用。

等號條件很重要

等號條件不是補充說明，而是告訴你估計何時會變得剛剛好。

在 Cauchy-Schwarz 中，等號表示兩個向量沿同一直線，因此其中一個是另一個的純量倍；
在三角不等式中，等號表示兩個向量沿同一方向，而且比例非負，所以走 u 再走 v 真的是沿同一條直線前進。

例題

三角不等式取等的情況

令

u= \begin{bmatrix} 2\\0 \end{bmatrix}, \qquad v= \begin{bmatrix} 3\\0 \end{bmatrix}.

則 $v=\frac32u$ ，所以 v 是 u 的非負純量倍。於是

\|u+v\|=\left\| \begin{bmatrix} 5\\0 \end{bmatrix} \right\|=5 =2+3 =\|u\|+\|v\|.

所以等號成立。

常見錯誤

Cauchy-Schwarz 取等不等於正交

正交表示 $\langle v,w\rangle=0$ 。Cauchy-Schwarz 取等表示

|\langle v,w\rangle|=\|v\|\,\|w\|,

它發生在兩個向量線性相關時，而不是垂直時。這兩種幾何情況幾乎是相反的。

快速檢查

Cauchy-Schwarz 對 $|\langle v,w\rangle|$ 給出甚麼估計？

直接寫出不等式。

解答

答案

快速檢查

若 `u` 與 `v` 完全同方向，三角不等式可以取等嗎？

假設其中一個是另一個的非負純量倍。

解答

答案

快速檢查

若 $v\perp w$ ，Cauchy-Schwarz 會化成甚麼？

代入 $\langle v,w\rangle=0$ 。

解答

答案

練習

快速檢查

用 Cauchy-Schwarz 證明 $|\langle (1,2),(3,4)\rangle| \le \|(1,2)\|\,\|(3,4)\|$ 。

把兩邊數值都算出來。

解答

引導解答

快速檢查

對 $u=(1,0)$ 與 $v=(0,1)$ ，求 $\|u+v\|$ ，並與 $\|u\|+\|v\|$ 比較。

這是直角情況。

解答

引導解答

快速檢查

若 $\|u\|=7$ 、 $\|v\|=3$ ，利用反向三角不等式求 $\|u-v\|$ 的下界。

直接代公式。

解答

9.4 Cauchy-Schwarz 與三角不等式

MATH1030：線性代數 I

Cauchy-Schwarz 不等式

Cauchy-Schwarz 不等式

用二次多項式證明

數值檢查 Cauchy-Schwarz

三角不等式

三角不等式

由 Cauchy-Schwarz 推出三角不等式

反向三角不等式

等號條件很重要

三角不等式取等的情況

常見錯誤

Cauchy-Schwarz 取等不等於正交

快速檢查

Cauchy-Schwarz 對 $|\langle v,w\rangle|$ 給出甚麼估計？

答案

若 `u` 與 `v` 完全同方向，三角不等式可以取等嗎？

答案

若 $v\perp w$ ，Cauchy-Schwarz 會化成甚麼？

答案

練習

用 Cauchy-Schwarz 證明 $|\langle (1,2),(3,4)\rangle| \le \|(1,2)\|\,\|(3,4)\|$ 。

引導解答

對 $u=(1,0)$ 與 $v=(0,1)$ ，求 $\|u+v\|$ ，並與 $\|u\|+\|v\|$ 比較。

引導解答

若 $\|u\|=7$ 、 $\|v\|=3$ ，利用反向三角不等式求 $\|u-v\|$ 的下界。

引導解答

相關筆記

本節掌握 checkpoint

Cauchy-Schwarz 不等式對 v 與 w 的內積給出甚麼估計？

先備知識

本單元重點詞彙

本系列更多筆記

9.4 Cauchy-Schwarz 與三角不等式

MATH1030：線性代數 I

Cauchy-Schwarz 不等式

Cauchy-Schwarz 不等式

用二次多項式證明

數值檢查 Cauchy-Schwarz

三角不等式

三角不等式

由 Cauchy-Schwarz 推出三角不等式

反向三角不等式

等號條件很重要

三角不等式取等的情況

常見錯誤

Cauchy-Schwarz 取等不等於正交

快速檢查

Cauchy-Schwarz 對 ∣⟨v,w⟩∣|\langle v,w\rangle|∣⟨v,w⟩∣ 給出甚麼估計？

答案

若 u 與 v 完全同方向，三角不等式可以取等嗎？

答案

若 v⊥wv\perp wv⊥w，Cauchy-Schwarz 會化成甚麼？

答案

練習

用 Cauchy-Schwarz 證明 ∣⟨(1,2),(3,4)⟩∣≤∥(1,2)∥ ∥(3,4)∥|\langle (1,2),(3,4)\rangle| \le \|(1,2)\|\,\|(3,4)\|∣⟨(1,2),(3,4)⟩∣≤∥(1,2)∥∥(3,4)∥。

引導解答

對 u=(1,0)u=(1,0)u=(1,0) 與 v=(0,1)v=(0,1)v=(0,1)，求 ∥u+v∥\|u+v\|∥u+v∥，並與 ∥u∥+∥v∥\|u\|+\|v\|∥u∥+∥v∥ 比較。

引導解答

若 ∥u∥=7\|u\|=7∥u∥=7、∥v∥=3\|v\|=3∥v∥=3，利用反向三角不等式求 ∥u−v∥\|u-v\|∥u−v∥ 的下界。

引導解答

相關筆記

本節掌握 checkpoint

先備知識

本單元重點詞彙

本系列更多筆記

Cauchy-Schwarz 對 $|\langle v,w\rangle|$ 給出甚麼估計？

若 `u` 與 `v` 完全同方向，三角不等式可以取等嗎？

若 $v\perp w$ ，Cauchy-Schwarz 會化成甚麼？

用 Cauchy-Schwarz 證明 $|\langle (1,2),(3,4)\rangle| \le \|(1,2)\|\,\|(3,4)\|$ 。

對 $u=(1,0)$ 與 $v=(0,1)$ ，求 $\|u+v\|$ ，並與 $\|u\|+\|v\|$ 比較。

若 $\|u\|=7$ 、 $\|v\|=3$ ，利用反向三角不等式求 $\|u-v\|$ 的下界。