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9.2 正交集與標準正交基

利用正交性建立正交基與標準正交基，然後在不每次重解線性系統的情況下直接讀出坐標係數。

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MATH1030：線性代數 I

以嚴謹方式整理的線性代數筆記，涵蓋方程組、矩陣、結構與證明；互動只在真正有助理解數學時使用。

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章節 1方程組1 節
1.11.1 方程與解集
章節 2矩陣與消元4 節
2.12.1 矩陣基礎2.22.2 增廣矩陣與行變換2.32.3 高斯消元與最簡行階梯形2.42.4 解集的種類
章節 3矩陣代數2 節
3.13.1 矩陣乘法與單位矩陣3.23.2 轉置與特殊矩陣
章節 4解的結構1 節
4.14.1 齊次方程組與零空間
章節 5可逆性1 節
5.15.1 可逆矩陣
章節 6向量空間6 節
6.16.1 向量空間6.26.2 子空間6.36.3 線性組合與張成6.46.4 線性相依與線性無關6.56.5 基底與維數6.66.6 列空間、行空間與秩
章節 7行列式3 節
7.17.1 行列式與餘因子展開7.27.2 行變換、乘積與可逆性7.37.3 轉置、列變換與克拉默法則
章節 8特徵值與對角化3 節
8.18.1 特徵值、特徵向量與特徵空間8.28.2 對角化與相似8.38.3 特徵多項式與對角化測試
章節 9內積與正交性4 節
9.19.1 內積、範數與夾角9.29.2 正交集與標準正交基目前小節9.39.3 Gram-Schmidt 正交化9.49.4 Cauchy-Schwarz 與三角不等式

一旦有了內積，便可以挑出一類幾何上特別簡潔的向量族：正交集。

它們重要之處，在於正交性可以取代消元法。在正交基底中，坐標係數不需 再每次重解一個線性系統，而可以直接由內積讀出來。

正交

定義

正交向量

若向量 v,w∈Rmv,w\in\mathbb{R}^m 滿足

⟨v,w⟩=0,\langle v,w\rangle=0,

則稱 v 與 w 正交，記作

v⊥w.v\perp w.

重要之處不是在圖畫上「看來垂直」，而是在任意維度中都可由內積的代數 條件來判定。

例題

用內積檢查正交

令

v=[123],w=[−1−11].v= \begin{bmatrix} 1\\2\\3 \end{bmatrix}, \qquad w= \begin{bmatrix} -1\\-1\\1 \end{bmatrix}.

則

⟨v,w⟩=1(−1)+2(−1)+3(1)=0.\langle v,w\rangle=1(-1)+2(-1)+3(1)=0.

所以 v 與 w 正交。

正交集

定義

正交集

有限集合 S={v1,…,vk}S=\{v_1,\dots,v_k\} 若滿足：

  1. 集內每個向量都非零；
  2. 對任意 i≠ji\neq j，都有 vi⊥vjv_i\perp v_j；

則稱 SS 為 Rm\mathbb{R}^m 中的一個 正交集。

這裡要求非零，非常重要。若容許零向量，那麼任何含有 0 的集合都會 因 ⟨0,v⟩=0\langle0,v\rangle=0 而顯得「正交」，這會令結構定理失去內容。

定理

非零正交集自動線性無關

若 S={v1,…,vk}S=\{v_1,\dots,v_k\} 是 Rm\mathbb{R}^m 中的一個正交集，則 SS 必線性無關。

證明

為甚麼正交集必線性無關

正交基中的坐標公式

正交性的強大之處，在於它能把坐標係數公式化。

定理

正交集中的係數公式

設 S={v1,…,vk}S=\{v_1,\dots,v_k\} 是正交集，而

v=α1v1+⋯+αkvk.v=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_kv_k.

則對每個 i，

αi=⟨v,vi⟩∥vi∥2.\alpha_i=\frac{\langle v,v_i\rangle}{\|v_i\|^2}.

因此

v=⟨v,v1⟩∥v1∥2v1+⋯+⟨v,vk⟩∥vk∥2vk.v= \frac{\langle v,v_1\rangle}{\|v_1\|^2}v_1 +\cdots+ \frac{\langle v,v_k\rangle}{\|v_k\|^2}v_k.

這是正交性的主要實用回報。你不需要再解一個系統去找係數。

例題

用內積直接找坐標

令

v1=[111],v2=[1−10],v3=[11−2].v_1= \begin{bmatrix} 1\\1\\1 \end{bmatrix}, \quad v_2= \begin{bmatrix} 1\\-1\\0 \end{bmatrix}, \quad v_3= \begin{bmatrix} 1\\1\\-2 \end{bmatrix}.

這是一個正交集。令

v=[123].v= \begin{bmatrix} 1\\2\\3 \end{bmatrix}.

則

α1=⟨v,v1⟩∥v1∥2=63=2,\alpha_1=\frac{\langle v,v_1\rangle}{\|v_1\|^2} =\frac{6}{3}=2,α2=⟨v,v2⟩∥v2∥2=−12=−12,\alpha_2=\frac{\langle v,v_2\rangle}{\|v_2\|^2} =\frac{-1}{2}=-\frac12,α3=⟨v,v3⟩∥v3∥2=−36=−12.\alpha_3=\frac{\langle v,v_3\rangle}{\|v_3\|^2} =\frac{-3}{6}=-\frac12.

所以

v=2v1−12v2−12v3.v=2v_1-\frac12v_2-\frac12v_3.

正交基與標準正交基

定義

正交基

設 VV 是 Rm\mathbb{R}^m 的子空間。若集合 SS 同時滿足：

  1. SS 是 VV 的一組基底；
  2. SS 是正交集；

則稱 SS 為 VV 的 正交基。

由於非零正交集自動線性無關，所以若你已知一個正交集屬於 VV，要檢查 它是不是正交基，只需再檢查它是否張成 VV。

定理

正交基判準

設 VV 是 Rm\mathbb{R}^m 的子空間。若 SS 是 VV 中的一個正交子集， 則 SS 是 VV 的正交基，當且僅當 SS 張成 VV。

定義

標準正交基

集合 S={v1,…,vk}S=\{v_1,\dots,v_k\} 若既正交，而且每個向量都滿足 ∥vi∥=1\|v_i\|=1， 則稱 SS 為 標準正交。等價寫法是

⟨vi,vj⟩={1,i=j,0,i≠j.\langle v_i,v_j\rangle= \begin{cases} 1,& i=j,\\ 0,& i\neq j. \end{cases}

若這樣的集合同時也是一組基底，便稱為 標準正交基。

對標準正交基而言，坐標公式會再簡化。

定理

標準正交基中的坐標公式

若 S={v1,…,vk}S=\{v_1,\dots,v_k\} 是一個標準正交集，而

v∈span⁡{v1,…,vk},v\in\operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\},

則

v=⟨v,v1⟩v1+⋯+⟨v,vk⟩vk.v=\langle v,v_1\rangle v_1+\cdots+\langle v,v_k\rangle v_k.

因為每個向量的範數都是 1，分母自然消失。

常見錯誤

常見錯誤

正交不等於已經是基底

正交集一定線性無關，但它未必張成你關心的整個空間。正交性免費給你線 性無關；它不會免費給你張成性。

快速檢查

快速檢查

正交集可以包含零向量嗎？

用定義回答，不要只看 ⟨0,v⟩=0⟨0,v⟩=0。

解答

答案

快速檢查

為甚麼標準基底向量 e1,…,eme_1,\dots,e_m 彼此正交？

計算它們之間的內積。

解答

答案

快速檢查

若使用的是標準正交基，v 在 viv_i 方向上的係數是多少？

利用標準正交坐標公式。

解答

答案

練習

快速檢查

證明 {(1,2),(−2,1)}\{(1,2),(-2,1)\} 是 R2\mathbb{R}^2 的一組正交基。

先檢查正交，再判斷是否張成。

解答

引導解答

快速檢查

令 u1=(1,0,1)u_1=(1,0,1)、u2=(1,−2,1)u_2=(1,-2,1)。求 v=(2,−2,2)v=(2,-2,2) 在這組正交基下的係數。

直接使用正交係數公式。

解答

引導解答

快速檢查

把正交基 {(3,4),(4,−3)}\{(3,4),(4,-3)\} 正規化。

把每個向量除以自己的範數。

解答

引導解答

相關筆記

應先讀 9.1 內積、範數與夾角， 因為本節所有公式都建立在那裡的內積與範數定義之上。

之後可繼續讀 9.3 Gram-Schmidt 正交化， 看看任意基底如何系統地轉成正交基。

本節的基底語言亦依賴 6.5 基底與維數。

本節掌握 checkpoint

要完成這一節 checkpoint，需要把每一題答對。 答對進度: 0%.

技能點: orthonormal-basis, inner-product, coordinates

填空：若 {v1,...,vk} 是標準正交集，而 v 落在它們的張成空間內，則 v 在 vi 方向上的係數是 ____。

已用嘗試次數: 0

剩餘嘗試次數: 不限嘗試次數

預覽不會消耗嘗試次數。

提交會記錄一次正式評分嘗試。

輸入格式提示: 輸入 `⟨v,v_i⟩` 或 `<v,vi>` 呢種簡短符號答案已足夠。

先備知識

9.1

9.1 內積、範數與夾角

6.5

6.5 基底與維數

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