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8.1預計閱讀時間: 12 分鐘

8.1 特徵值、特徵向量與特徵空間

由方程 Av=λv 定義特徵值與特徵向量，再把同一個概念改寫成零空間與行列式問題，令整個結構變得可計算。

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MATH1030：線性代數 I

以嚴謹方式整理的線性代數筆記，涵蓋方程組、矩陣、結構與證明；互動只在真正有助理解數學時使用。

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章節 1方程組1 節
1.11.1 方程與解集
章節 2矩陣與消元4 節
2.12.1 矩陣基礎2.22.2 增廣矩陣與行變換2.32.3 高斯消元與最簡行階梯形2.42.4 解集的種類
章節 3矩陣代數2 節
3.13.1 矩陣乘法與單位矩陣3.23.2 轉置與特殊矩陣
章節 4解的結構1 節
4.14.1 齊次方程組與零空間
章節 5可逆性1 節
5.15.1 可逆矩陣
章節 6向量空間6 節
6.16.1 向量空間6.26.2 子空間6.36.3 線性組合與張成6.46.4 線性相依與線性無關6.56.5 基底與維數6.66.6 列空間、行空間與秩
章節 7行列式3 節
7.17.1 行列式與餘因子展開7.27.2 行變換、乘積與可逆性7.37.3 轉置、列變換與克拉默法則
章節 8特徵值與對角化3 節
8.18.1 特徵值、特徵向量與特徵空間目前小節8.28.2 對角化與相似8.38.3 特徵多項式與對角化測試
章節 9內積與正交性4 節
9.19.1 內積、範數與夾角9.29.2 正交集與標準正交基9.39.3 Gram-Schmidt 正交化9.49.4 Cauchy-Schwarz 與三角不等式

行列式會告訴你一個方陣是否可逆。特徵值問的是另一個問題：哪些向量在 矩陣作用之下仍然保持原來的方向。

大部分向量經過矩陣乘法後，方向都會被改變。特徵向量則是例外。它只會 被拉長、縮短，或者反向，而不會偏離本身張成的直線。這就是為甚麼特徵 值揭示的是矩陣的內部幾何，而不只是方程組可否解。

為甚麼這一節重要

當你解 Ax=bAx=b 時，你關心的是整個系統。當你研究特徵值時，你關心的是 那些特別的向量 v，使得矩陣作用退化成較簡單的規則

Av=λv.Av=\lambda v.

一旦找出這些向量，之後便能更容易處理矩陣的冪、理解對角化，並描述哪 些方向在變換下是不變的。

定義

特徵值與特徵向量

設 AA 是一個 n×nn\times n 方陣。設 λ\lambda 是一個純量，而 v 是 Rn\mathbb{R}^n 中的非零列向量。

若

Av=λv,Av=\lambda v,

便稱 v 是 AA 對應於 特徵值 λ\lambda 的 特徵向量。

這裡必須要求 v 非零。因為零向量對每個純量都滿足 A0=λ0A0=\lambda0， 若把它容許進來，定義便會失去內容。

重點在於，矩陣作用與純量乘法在這個向量上完全一致。v 的方向被保 留，改變的只是長度與符號。

由定義立刻得到的結論

定理

同一個特徵向量只會對應一個特徵值

設 AA 是方陣，而 v 是非零向量。若

Av=λv且Av=μv,Av=\lambda v \qquad\text{且}\qquad Av=\mu v,

則 λ=μ\lambda=\mu。

原因很直接。把兩式相減：

(λ−μ)v=0.(\lambda-\mu)v=0.

由於 v≠0v\neq0，只可能是純量係數本身為 0，所以 λ=μ\lambda=\mu。

定理

特徵向量的非零倍數仍是特徵向量

若 v 是 AA 對應於特徵值 λ\lambda 的特徵向量，則每個非零純量倍 cv 也是 AA 的特徵向量，而且對應同一個特徵值 λ\lambda。

因此，特徵向量從來不會只以單一向量出現；它自然代表一條穿過原點的 直線。

定理

同一特徵值下的線性組合

設 u1,…,uku_1,\dots,u_k 都是 AA 的特徵向量，而且都對應同一個特徵值 λ\lambda。則每個非零線性組合

α1u1+⋯+αkuk\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_ku_k

仍然是 AA 對應於 λ\lambda 的特徵向量。

這已經暗示：一旦把零向量加回去，對應同一個特徵值的所有特徵向量會形 成一個子空間。

第一批例子

例題

一個 2×2 矩陣有兩個不同特徵值

令

A=[1330−6−14].A= \begin{bmatrix} 13&30\\ -6&-14 \end{bmatrix}.

先看向量

u1=[5−2].u_1= \begin{bmatrix} 5\\ -2 \end{bmatrix}.

計算得

Au1=[1330−6−14][5−2]=[5−2]=1⋅u1.Au_1= \begin{bmatrix} 13&30\\ -6&-14 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5\\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\\ -2 \end{bmatrix} =1\cdot u_1.

所以 u1u_1 是特徵向量，而對應特徵值為 1。

再看

u2=[2−1].u_2= \begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix}.

則

Au2=[−42]=−2[2−1]=−2u2.Au_2= \begin{bmatrix} -4\\ 2 \end{bmatrix} =-2 \begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix} =-2u_2.

所以 u2u_2 對應的特徵值是 −2-2。

例題

同一個特徵值可以對應多於一個方向

令

B=[211121112].B= \begin{bmatrix} 2&1&1\\ 1&2&1\\ 1&1&2 \end{bmatrix}.

向量

u1=[111]u_1= \begin{bmatrix} 1\\1\\1 \end{bmatrix}

滿足 Bu1=4u1Bu_1=4u_1，所以 4 是其中一個特徵值。

再看

u2=[1−10],u3=[10−1].u_2= \begin{bmatrix} 1\\-1\\0 \end{bmatrix}, \qquad u_3= \begin{bmatrix} 1\\0\\-1 \end{bmatrix}.

二者都滿足

Bu2=u2,Bu3=u3.Bu_2=u_2, \qquad Bu_3=u_3.

所以同一個特徵值 1 至少已有兩個線性無關的特徵向量。這並不違反前 面的唯一性定理。那條定理只說：固定一個非零向量之後，它不能同時對應 兩個不同特徵值。它沒有說：一個特徵值只會有一個方向。

特徵值其實是一個零空間問題

方程 Av=λvAv=\lambda v 若把所有項移到同一邊，便變成

Av−λv=0.Av-\lambda v=0.

由於 λv=λInv\lambda v=\lambda I_nv，這等價於

(A−λIn)v=0.(A-\lambda I_n)v=0.

定理

用齊次系統描述特徵值

設 AA 是 n×nn\times n 矩陣，λ\lambda 是純量，而 v≠0v\neq0。

下列兩件事等價：

  1. v 是 AA 對應於特徵值 λ\lambda 的特徵向量。
  2. v 是齊次系統
(A−λIn)x=0(A-\lambda I_n)x=0

的一個非平凡解。

於是，特徵值問題便被改寫成普通的線性系統問題。向量 v 必須落在 A−λIA-\lambda I 的零空間內。

定義

特徵空間

設 AA 是 n×nn\times n 矩陣，而 λ\lambda 是 AA 的一個特徵值。則 AA 對應於 λ\lambda 的 特徵空間 定義為

EA(λ)=N(A−λIn).E_A(\lambda)=N(A-\lambda I_n).

因此，特徵空間包含所有對應於 λ\lambda 的特徵向量，以及零向量。

因為它本身是一個零空間，所以 EA(λ)E_A(\lambda) 自動是一個子空間。

特徵值的等價刻畫

一旦有了零空間的版本，前面學過的可逆性詞典便可以直接搬過來。

定理

判斷 λ 是否為特徵值的等價條件

設 AA 是 n×nn\times n 矩陣，而 λ\lambda 是純量。下列敘述等價：

  1. λ\lambda 是 AA 的特徵值。
  2. (A−λIn)x=0(A-\lambda I_n)x=0 有非平凡解。
  3. N(A−λIn)≠{0}N(A-\lambda I_n)\neq\{0\}。
  4. A−λInA-\lambda I_n 不可逆。
  5. det⁡(A−λIn)=0\det(A-\lambda I_n)=0。

這條定理把特徵值與行列式直接接起來，之後便會導向特徵多項式。

例題

用行化簡找特徵值與特徵空間

令

C=[323−2].C= \begin{bmatrix} 3&2\\ 3&-2 \end{bmatrix}.

先解

det⁡(C−λI)=0.\det(C-\lambda I)=0.

得到

det⁡[3−λ23−2−λ]=(3−λ)(−2−λ)−6=λ2−λ−12.\det \begin{bmatrix} 3-\lambda&2\\ 3&-2-\lambda \end{bmatrix} =(3-\lambda)(-2-\lambda)-6 =\lambda^2-\lambda-12.

因此特徵值為

λ=4,λ=−3.\lambda=4,\qquad \lambda=-3.

對 λ=4\lambda=4，

C−4I=[−123−6]∼[1−200].C-4I= \begin{bmatrix} -1&2\\ 3&-6 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1&-2\\ 0&0 \end{bmatrix}.

所以 x1=2x2x_1=2x_2，可取一組基為

[21].\begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix}.

對 λ=−3\lambda=-3，

C+3I=[6231]∼[3100].C+3I= \begin{bmatrix} 6&2\\ 3&1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 3&1\\ 0&0 \end{bmatrix}.

所以 3x1+x2=03x_1+x_2=0，可取一組基為

[1−3].\begin{bmatrix} 1\\-3 \end{bmatrix}.

因此

EC(4)=span⁡{[21]},EC(−3)=span⁡{[1−3]}.E_C(4)=\operatorname{span}\left\{ \begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix} \right\}, \qquad E_C(-3)=\operatorname{span}\left\{ \begin{bmatrix} 1\\-3 \end{bmatrix} \right\}.

重要性質

定理

0 是否為特徵值，正好等同於可逆與否

對方陣 AA，下列兩件事等價：

  1. 0 是 AA 的特徵值。
  2. AA 不可逆。

等價地，AA 可逆當且僅當 0 不是它的特徵值。

這其實只是把前面的等價條件代入 λ=0\lambda=0。

定理

簡單矩陣運算下的特徵值變化

若 λ\lambda 是 AA 的特徵值，則：

  1. kλk\lambda 是 kA 的特徵值；
  2. 對每個非負整數 m，λm\lambda^m 是 AmA^m 的特徵值；
  3. λ\lambda 也是 ATA^T 的特徵值；
  4. 若 AA 可逆，則 λ−1\lambda^{-1} 是 A−1A^{-1} 的特徵值。

這些性質都不神秘。它們只是把相應的矩陣運算直接套在方程 Av=λvAv=\lambda v 上。

常見錯誤

常見錯誤

零向量永遠不是特徵向量

學生常會留意到 A0=λ0A0=\lambda0 對所有純量都成立，於是誤以為零向量是所 有特徵值的特徵向量。正因如此，定義才必須排除零向量。特徵向量代表的 是某個真正的方向，而零向量沒有方向可言。

快速檢查

快速檢查

若 v 是 AA 對應於特徵值 λ\lambda 的特徵向量，則 3v 也是嗎？

假設 v≠0v\neq0。

解答

答案

快速檢查

為甚麼 0 是特徵值會迫使 AA 不可逆？

利用系統 (A−0I)x=0(A-0I)x=0 去理解。

解答

答案

快速檢查

用零空間語言寫出 EA(λ)E_A(\lambda)。

直接使用剛才的定義。

解答

答案

練習

快速檢查

證明 [11]\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} 是 [2112]\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix} 的特徵向量，並找出其特徵值。

先做矩陣乘法，再與原向量比較。

解答

引導解答

快速檢查

求 A=[1004]A=\begin{bmatrix}1&0\\0&4\end{bmatrix} 對應於特徵值 4 的特徵空間。

解 (A−4I)x=0(A-4I)x=0。

解答

引導解答

快速檢查

若 AA 可逆，則 0 會否成為 ATA^T 的特徵值？

把轉置性質與可逆性判準合起來想。

解答

引導解答

相關筆記

請把 7.2 行變換、乘積與可逆性 放在旁邊，因為測試 det⁡(A−λI)=0\det(A-\lambda I)=0 直接依賴行列式與可逆性的理 解。

接着可讀 8.2 對角化與相似， 看看一整組特徵向量如何改變矩陣的整體形狀。

本節的子空間觀點也依賴 6.5 基底與維數。

本節掌握 checkpoint

要完成這一節 checkpoint，需要把每一題答對。 答對進度: 0%.

技能點: eigenvalue, invertibility, determinant

下列哪一項與「0 是方陣 A 的一個特徵值」等價？

已用嘗試次數: 0

剩餘嘗試次數: 不限嘗試次數

預覽不會消耗嘗試次數。

提交會記錄一次正式評分嘗試。

先備知識

7.2

7.2 行變換、乘積與可逆性

6.5

6.5 基底與維數

本單元重點詞彙

本系列更多筆記

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