7.1 行列式与余因子展开

行列式会为一个方阵配上一个数。这个数并不是装饰。之后它会告诉你矩阵是否可逆、行与列变换怎样影响矩阵，以及某些方形线性系统如何用公式解出。

代价是，行列式的定义比矩阵加法或数乘细致得多。行列式只对方阵定义，而且它是由较小尺寸的行列式递归建出来的。

为什么这一节重要

如果你只背

\det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=ad-bc,

你就会错过真正的结构。这一节要做的，是说明这个公式从何而来、为什么符号会交替，以及为什么沿着一条选得好的行或列展开，可以把一个困难计算变得可控制。

定义

子矩阵、子式与余因子

设 $A=[a_{ij}]$ 是一个 $n\times n$ 矩阵。

固定 i 与 j，删去第 i 行与第 j 列，得到的 $(n-1)\times(n-1)$ 矩阵记作 $A(i\mid j)$ 。

项 $a_{ij}$ 的子式定义为

M_{ij}=\det(A(i\mid j)).

项 $a_{ij}$ 的 余因子 定义为

A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.

因子 $(-1)^{i+j}$ 产生棋盘式的正负号：

\begin{bmatrix} + & - & + & \cdots\\ - & + & - & \cdots\\ + & - & + & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}.

定义

用余因子展开定义行列式

若 $A=[a_{11}]$ 是 $1\times1$ 矩阵，就定义

\det(A)=a_{11}.

若 $A=[a_{ij}]$ 是 $n\times n$ 矩阵且 $n>1$ ，就沿第一行作展开：

\det(A)=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+\cdots+a_{1n}A_{1n}.

等价地，

\det(A)=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+\cdots+(-1)^{1+n}a_{1n}M_{1n}.

这个定义是递归的。 $4\times4$ 行列式会被拆成几个 $3\times3$ 行列式，而每个 $3\times3$ 行列式又会被拆成 $2\times2$ 行列式，最后再回到 $1\times1$ 的基本情况。

第一批例子

例题

熟悉的 2×2 公式其实来自定义

设

A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}.

第一行的余因子是

A_{11}=(-1)^{1+1}a_{22}=a_{22}, \qquad A_{12}=(-1)^{1+2}a_{21}=-a_{21}.

所以

\det(A)=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12} =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.

因此常见的 $ad-bc$ 公式并不是另一条独立定理，而是递归定义在 $2\times2$ 情况下的具体写法。

例题

用余因子展开计算一个 3×3 行列式

令

B= \begin{bmatrix} 3&2&-1\\ 4&1&6\\ -3&-1&2 \end{bmatrix}.

沿第一行展开：

\det(B)=3 \begin{vmatrix} 1&6\\ -1&2 \end{vmatrix} -2 \begin{vmatrix} 4&6\\ -3&2 \end{vmatrix} (-1) \begin{vmatrix} 4&1\\ -3&-1 \end{vmatrix}.

先算三个 $2\times2$ 行列式：

\begin{vmatrix} 1&6\\ -1&2 \end{vmatrix}=1\cdot2-6(-1)=8,

\begin{vmatrix} 4&6\\ -3&2 \end{vmatrix}=4\cdot2-6(-3)=26,

\begin{vmatrix} 4&1\\ -3&-1 \end{vmatrix}=4(-1)-1(-3)=-1.

因此

\det(B)=3(8)-2(26)+(-1)(-1)=24-52+1=-27.

沿着零较多的行去展开

直接展开通常很贵。余因子展开真正有用之处，在于你可以挑选一条最省工的行或列。

定理

可沿任意一行作余因子展开

对任意固定的第 i 行，若 $A=[a_{ij}]$ 是 $n\times n$ 矩阵，则

\det(A)=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}.

等价地，

\det(A)=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}.

所以虽然定义是沿第一行写出的，但同一个行列式其实可以沿任何一行展开。

例题

选一条可以消掉最多工作的行

令

C= \begin{bmatrix} 1&9&7&7\\ 0&5&2&5\\ 1&9&8&0\\ 1&9&8&3 \end{bmatrix}.

沿第二行展开比沿第一行展开更好，因为第二行第一项本身已经是 0：

\det(C)= 0\cdot A_{21} +5A_{22} +2A_{23} +5A_{24}.

这样只剩三个 $3\times3$ 行列式，而不是四个。实际计算时，最好的那条行或列通常就是零最多、或者数字最简单的那一条。

从定义直接得到的快结论

只要允许你沿适当的行或列展开，不少实用定理都会立即出现。

定理

有零行或零列，行列式就是 0

若一个方阵有一整行都是 0，则其行列式等于 0。同样地，若它有一整列都是 0，行列式也等于 0。

零行的说法是立刻可见的：直接沿那一行展开即可。零列的说法则是同一个结构从列的角度再看一次。

定理

某行或某列只有一个非零项时，可以立刻缩小尺寸

若方阵 $C$ 的第 k 行最多只有一个非零项，而该项位于 $(k,\ell)$ ，则

\det(C)=c_{k\ell}(-1)^{k+\ell}\det(C(k\mid \ell)).

若第 $\ell$ 列最多只有一个非零项，而且该非零项位于第 k 行，也有同样的结论。

这条定理正式表达了初学者常用的直觉：若某行或某列几乎全是零，就应该立即利用它。

定理

三角矩阵的行列式很容易读

若 $T$ 是上三角或下三角矩阵，则

\det(T)=t_{11}t_{22}\cdots t_{nn},

也就是对角线各项的乘积。

这就是之后我们如此重视行化简的原因。若你能把矩阵化到三角形，同时又准确记录行列式怎样改变，那最终的值就会很容易读出。

例题

三角矩阵只需看对角线

对

T= \begin{bmatrix} 2&3&4\\ 0&5&7\\ 0&0&-1 \end{bmatrix},

不需要做完整展开。因为 $T$ 是上三角矩阵，

\det(T)=2\cdot5\cdot(-1)=-10.

对角线以上的数字对矩阵本身当然重要，但在这种三角情况下，它们不会影响行列式公式。

多重线性与交替性

行列式并不是对整个矩阵一次性线性的，但若把其他各行固定，它对其中一行是线性的。

定理

固定其他各行后，行列式对某一行是线性的

固定某个方阵除了第 p 行以外的所有行。若新的第 p 行是

\alpha u+\beta v,

那么行列式便会拆成

\det(\text{相同其他各行,但第 p 行是 }\alpha u+\beta v) =\alpha\det(\text{相同其他各行,但第 p 行是 }u) +\beta\det(\text{相同其他各行,但第 p 行是 }v).

所以行列式是对每一行分别线性的。

定理

若有两行相同，行列式必为 0

若一个方阵有两行完全相同，则它的行列式等于 0。

这件事揭示了行列式衡量的是独立性，而不只是大小。若你重复了一行，矩阵便没有提供新的方向，带符号面积或带符号体积就会塌缩。

证明

为什么重复的两行会逼出 0

常见错误

行列式只属于方阵

很多人会不自觉地问一个 $2\times3$ 或 $3\times2$ 矩阵的行列式是什么。不要这样做。行列式只对方阵定义，因为递归的子式构造必须每次都从一个方阵删去一行一列，并且仍然保持是方阵。

快速检查

$\det\begin{bmatrix}4\end{bmatrix}$ 是多少？

回想递归定义的基本情况。

解答

答案

快速检查

为什么沿着零较多的行去展开会比较聪明？

想想展开式中会剩下多少个非零项。

解答

答案

快速检查

若一个对角矩阵的对角线项是 `2`、 $-1$ 、`5`，它的行列式是多少？

用三角矩阵公式。

解答

答案

练习

快速检查

用余因子定义计算 $\det\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$ 。

先把第一行的两个余因子写出来，再代回去。

解答

引导解答

快速检查

用最合适的行或列展开，求 $\det\begin{bmatrix}2&0&1\\0&3&0\\4&0&5\end{bmatrix}$ 。

先找零最多的一行或一列。

解答

引导解答

快速检查

解释为什么有一条零行的矩阵不可能可逆。

把本节结论与下一节的可逆性判准连起来。

解答

7.1 行列式与余因子展开

MATH1030：线性代数 I

为什么这一节重要

子矩阵、子式与余因子

用余因子展开定义行列式

第一批例子

熟悉的 2×2 公式其实来自定义

用余因子展开计算一个 3×3 行列式

沿着零较多的行去展开

可沿任意一行作余因子展开

选一条可以消掉最多工作的行

从定义直接得到的快结论

有零行或零列，行列式就是 0

某行或某列只有一个非零项时，可以立刻缩小尺寸

三角矩阵的行列式很容易读

三角矩阵只需看对角线

多重线性与交替性

固定其他各行后，行列式对某一行是线性的

若有两行相同，行列式必为 0

为什么重复的两行会逼出 0

常见错误

行列式只属于方阵

快速检查

det⁡[4]\det\begin{bmatrix}4\end{bmatrix}det[4​] 是多少？

答案

为什么沿着零较多的行去展开会比较聪明？

答案

若一个对角矩阵的对角线项是 2、−1-1−1、5，它的行列式是多少？

答案

练习

用余因子定义计算 det⁡[1234]\det\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}det[13​24​]。

引导解答

用最合适的行或列展开，求 det⁡[201030405]\det\begin{bmatrix}2&0&1\\0&3&0\\4&0&5\end{bmatrix}det​204​030​105​​。

引导解答

解释为什么有一条零行的矩阵不可能可逆。

引导解答

相关笔记

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本单元重点词汇

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$\det\begin{bmatrix}4\end{bmatrix}$ 是多少？

若一个对角矩阵的对角线项是 `2`、 $-1$ 、`5`，它的行列式是多少？

用余因子定义计算 $\det\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$ 。

用最合适的行或列展开，求 $\det\begin{bmatrix}2&0&1\\0&3&0\\4&0&5\end{bmatrix}$ 。