4.1 齊次方程組與零空間

當你已經懂得對方程組做行化簡，下一步就不應只問「這一題怎樣解」，而應問「全部解究竟有甚麼結構」。齊次方程組是最適合開始問這個問題的地方，而零空間正是回答這個問題的語言。

為甚麼齊次方程組特別

齊次線性方程組的常數項全部都是 0。用矩陣寫，就是

Ax = 0.

這種情況有一個立刻可見的特點：零向量永遠是它的解。

定義

齊次方程組

齊次線性方程組是形如

Ax = 0

的線性方程組。

其中 $x = 0$ 稱為平凡解。

真正的問題在於：除了平凡解之外，是否還有非平凡解。

零空間把所有齊次解收集起來

定義

零空間

若 $A$ 是矩陣，則 $A$ 的零空間定義為

N(A) = \{x : Ax = 0\}.

因此 N(A) 正正就是齊次方程組 $Ax = 0$ 的解集。

這個定義把「一些解」變成一個完整的數學對象。你不再只是在列例子，而是在描述整個集合。

行化簡會揭示零空間的形狀

要找 N(A)，就是解 $Ax = 0$ ，也就是對增廣系統 $[A \mid 0]$ 做行化簡。主元告訴你哪些變量被決定，自由變量則告訴你剩下多少自由方向。

例題

解一個齊次方程組並描述零空間

令

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -2 \end{bmatrix}.

要求解 $Ax = 0$ ，把它行化簡：

\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 2 & 4 & -2 & 0 \end{array} \right] \sim \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right].

所以方程變成

x_1 + 2x_2 - x_3 = 0.

令 $x_2 = s$ 、 $x_3 = t$ 為自由變量，則

x_1 = -2s + t.

因此

x = \begin{bmatrix} -2s + t \\ s \\ t \end{bmatrix} = s \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}.

所以

N(A) = \operatorname{Span} \left\{ \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}.

這個例子說明：零空間描述的不只是「有沒有解」，而是全部解如何被建立出來。

齊次解控制非齊次解的結構

同一個想法也可用來描述一致系統 $Ax = b$ 的全部解。

定理

所有解都等於某個特解加上一個零空間向量

設 $x_p$ 是 $Ax = b$ 的一個特解。

則向量 x 是 $Ax = b$ 的解，當且僅當

x = x_p + v

其中 $v \in N(A)$ 。

這正是自由變量公式背後的結構定理。

證明

為甚麼全部解都具有 $x_p + N(A)$ 的形式

一個非齊次例子

例題

把所有解寫成特解加零空間

假設系統 $Ax = b$ 有一個特解

x_p = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},

並且

N(A) = \operatorname{Span} \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}.

那麼所有解都可寫成

x = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 + t \\ -t \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad t \in R.

零空間給出自由方向；特解則決定這整個解族位於哪裏。

點解自由變量會迫出無限多個齊次解

由行化簡角度去睇，一個重要結論會立即出現。

定理

只要有自由變量，就有無限多解

如果齊次系統 $Ax = 0$ 至少有一個自由變量，咁佢就會有無限多個解。

原因並唔神秘。自由變量可以取任意實數，而唔同參數值通常會產生唔同解向量。

所以有一條值得明講的結論：如果變量數目多過主元方程數目，齊次系統裡面就一定會留下自由變量，於是解自然是無限多個。

例題

一個自由變量已經會產生整條解線

假設行化簡後得到

x_1 - 3x_2 = 0.

如果令 $x_2 = t$ ，咁 $x_1 = 3t$ ，所以所有解都可以寫成

\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = t \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad t \in R.

由於 t 可以取無限多個值，所以解集亦都唔止係「多過一個」，而係真係無限多個。

例題

零空間也可能只剩平凡解

令

A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.

咁 $Ax = 0$ 就只是

x_1 = 0, \qquad x_2 = 0.

因此唯一解係零向量，所以

N(A) = \{0\}

呢個例子同前面有自由變量的情形剛好相反。

零空間本身係一個子空間

零空間最先係以「解集」身份出場，但佢唔只係解集；佢永遠都係 $A$ 定義域入面嘅一個子空間。

呢個同時表示：零空間記錄嘅唔單止係「有冇解」，而係仲剩低幾多個真正獨立嘅自由方向。

定理

零空間對線性組合封閉

對任何矩陣 $A$ ，N(A) 都係一個子空間。特別係：

$0 \in N(A)$ ；
若 $u, v \in N(A)$ ，則 $u + v \in N(A)$ ；
若 $u \in N(A)$ 而 c 係純量，則 $cu \in N(A)$ 。

證明

點解零空間係子空間

知道零空間係子空間之後，你先至可以合理地問：佢有冇基？有幾多維？同主元結構有咩關係？

零度量度咗仲剩幾多個獨立方向

上面嘅討論亦都說明：零空間唔只係一堆解，而係系統剩餘自由度嘅記錄。

每一個自由變量，都對應一個獨立參數。所以零空間嘅維數，正正就等於化簡後自由變量嘅個數。

用秩的語言去講，之後就會寫成

\operatorname{nullity}(A) = n - \operatorname{rank}(A),

但即使在秩—零度定理正式出場之前，你都應該先把 nullity 讀成「系統仲剩幾多條獨立零空間方向」。

例題

零空間成員測試其實很直接

令

A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad x = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad z = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}.

計算得到

Ax = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad Az = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}.

因此 $x \in N(A)$ ，但 $z \notin N(A)$ 。要測試某個向量是否屬於零空間，最直接的方法就是實際計算 Ax。

點樣由 RREF 讀出零空間基底

實際計算時，N(A) 的基底通常直接由自由變量描述讀出。

做法可以固定成：

先將 $A$ 行化簡；
分清楚主元變量與自由變量；
每次將一個自由變量設成 1，其餘自由變量設成 0；
由方程解回主元變量；
對每個自由變量重複一次。

咁樣得到的向量會形成零空間的一組基底候選，因為每一個向量都對應一個獨立自由方向。

仲要分清楚幾何圖像：

齊次解集永遠是子空間，所以一定經過原點；
非齊次而且一致的解集，通常是把這個子空間平移到某個特解位置之後得到。

因此 N(A) 是系統的結構核心，而 $x_p + N(A)$ 才是 $Ax = b$ 的完整解集。

齊次解同列向量相關性嘅關係

如果將 $A$ 嘅列寫成 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ，咁

Ax = 0

其實就等價於

x_1 a_1 + x_2 a_2 + \cdots + x_n a_n = 0.

所以只要齊次系統有一個非平凡解，就等同於 $A$ 嘅列向量之間存在一條非平凡線性關係。

例題

一個非平凡零空間向量就係一條相關關係

假設

x = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} \in N(A).

咁 $Ax = 0$ 就表示

1 \cdot a_1 - 2 \cdot a_2 + 1 \cdot a_3 = 0.

呢句正正就係 $A$ 嘅列向量之間一條非平凡相關關係。

零空間如何決定唯一性

由這個結構定理可以立刻得到：

若 $N(A) = \{0\}$ ，則一致系統 $Ax = b$ 只有唯一解；
若 N(A) 含有非零向量，則每個一致系統 $Ax = b$ 都有無限多解，因為你可以在特解上加上任意標量倍的零空間向量。

所以零空間正好量度了系統中隱藏的自由度。

常見錯誤

零向量永遠屬於零空間

有些同學會誤以為齊次方程組可能沒有解。這是不可能的，因為 $x = 0$ 永遠滿足 $Ax = 0$ 。

常見錯誤

找到一個特解，不等於已經找到全部解

即使你已經找到某個 $x_p$ 滿足 $Ax_p = b$ ，仍然要把整個零空間加上去，才算完整描述了解集。

快速檢查

為甚麼 $Ax = 0$ 一定至少有一個解？

用一句話回答。

解答

答案

快速檢查

若 $N(A) = \{0\}$ 且 $Ax = b$ 一致，它有多少個解？

請用本節定理解釋。

解答

答案

快速檢查

如果 $Ax = 0$ 有自由變量，解集有可能只得兩個向量嗎？

請由參數形式回答。

解答

答案

練習

快速檢查

若 $x_p$ 解 $Ax = b$ ，而 $u, v \in N(A)$ ，為甚麼 $x_p + u$ 與 $x_p + v$ 都是 $Ax = b$ 的解？

請用線性性質寫一行。

解答

4.1 齊次方程組與零空間

MATH1030：線性代數 I

為甚麼齊次方程組特別

齊次方程組

零空間把所有齊次解收集起來

零空間

行化簡會揭示零空間的形狀

解一個齊次方程組並描述零空間

齊次解控制非齊次解的結構

所有解都等於某個特解加上一個零空間向量

為甚麼全部解都具有 xp+N(A)x_p + N(A)xp​+N(A) 的形式

一個非齊次例子

把所有解寫成特解加零空間

點解自由變量會迫出無限多個齊次解

只要有自由變量，就有無限多解

一個自由變量已經會產生整條解線

零空間也可能只剩平凡解

零空間本身係一個子空間

零空間對線性組合封閉

點解零空間係子空間

零度量度咗仲剩幾多個獨立方向

零空間成員測試其實很直接

點樣由 RREF 讀出零空間基底

齊次解同列向量相關性嘅關係

一個非平凡零空間向量就係一條相關關係

零空間如何決定唯一性

常見錯誤

零向量永遠屬於零空間

找到一個特解，不等於已經找到全部解

快速檢查

為甚麼 Ax=0Ax = 0Ax=0 一定至少有一個解？

答案

若 N(A)={0}N(A) = \{0\}N(A)={0} 且 Ax=bAx = bAx=b 一致，它有多少個解？

答案

如果 Ax=0Ax = 0Ax=0 有自由變量，解集有可能只得兩個向量嗎？

答案

練習

若 xpx_pxp​ 解 Ax=bAx = bAx=b，而 u,v∈N(A)u, v \in N(A)u,v∈N(A)，為甚麼 xp+ux_p + uxp​+u 與 xp+vx_p + vxp​+v 都是 Ax=bAx = bAx=b 的解？

引導解答

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為甚麼全部解都具有 $x_p + N(A)$ 的形式

為甚麼 $Ax = 0$ 一定至少有一個解？

若 $N(A) = \{0\}$ 且 $Ax = b$ 一致，它有多少個解？

如果 $Ax = 0$ 有自由變量，解集有可能只得兩個向量嗎？

若 $x_p$ 解 $Ax = b$ ，而 $u, v \in N(A)$ ，為甚麼 $x_p + u$ 與 $x_p + v$ 都是 $Ax = b$ 的解？