1.1 方程與解集

當一個線性方程組寫出來時，真正重要的不是方程本身那幾行字，而 是有多少組數字可以同時令全部方程成立。

這個解集可以只有一點，可以完全沒有，也可以是一整族無限多點。 本節先把這種語言立清楚，因為之後的代入、消去、矩陣、行化簡和零 空間，其實都只是在更有效率地描述同一個解集。

解集記錄甚麼

若方程組有未知數 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，一個解就是一個有序 n 元組 $(s_1, s_2, \ldots, s_n)$，使得把每個 $x_i$ 都換成 $s_i$ 之後， 每條方程都變成真命題。

次序是重要的。(2, 3) 和 (3, 2) 是不同的有序數對。解也不是一 個集合，所以若真解是 (2, 3)，我們不會寫成 {2, 3}。

整個方程組可以理解為多個條件的交集：

• 第一條方程先篩出滿足它的有序元組；
• 第二條方程再篩出滿足它的有序元組；
• 解集就是全部條件的交集。

所以只要其中一條方程不成立，該有序元組就不是解。

一致與不一致

這個定義很短，但含義很大。

• 一致方程組可以只有一個解。
• 一致方程組也可以有無限多個解。
• 不一致方程組沒有任何解，所以其解集是空集。

課程後面會證明，這就是全部可能。

這不是憑空假設。後面會用消去法和行化簡去證明。現在先記住： 一旦出現自由變數，就有無限多個選擇；一旦出現矛盾，就沒有解。

只有一個解的例子

完全沒有解的例子

不一致不等於「很多解」。不一致就是「沒有解」。

無限多解的例子

這個現象在更多未知數的方程組中仍然成立。差別只在於參數會變得更 多，寫法也更長。

為甚麼要談等價方程組

兩個方程組若有完全相同的解集，就叫等價。

這個定義比「看起來差不多」更嚴格，也比「方程條數一樣」更嚴格。 等價與否只看解集。

課程筆記指出三種基本方程操作：

1. 交換兩條方程；
2. 把某條方程乘上一個非零常數；
3. 用一條方程的倍數加到另一條方程上。

這些操作就是之後增廣矩陣行運算的方程版。

這就是消去法可以合法使用的原因：我們不是改題目，而是把同一個題 目改寫得更容易讀。

二元情況的幾何圖像

當只有兩個未知數時，每條方程都可以視為平面上的一條直線。此時解 集就是這些直線的交集。

• 兩條直線在一點相交，便有唯一解。
• 兩條直線平行而不同，便不一致。
• 兩條直線完全重合，便有無限多解。

這個幾何圖像很有用，因為它把三種可能看得很自然，不像是硬記。

為甚麼本節先講解集

後面的矩陣語言不是要取代這一節，而是要把這一節正式化。

當我們引入係數矩陣和增廣矩陣後，同一個方程組可以用更精簡的方式 記錄。當我們引入行運算後，就可以把一個方程組變成另一個等價方程 組。當我們到達階梯形或簡化階梯形時，解集就更容易直接讀出。

所以，若解集是主角，後面所有方法都只是不同的觀察角度。

若你已經熟習如何把小型方程組理解為一組條件，可以先試試下面這個 互動預覽。

常見錯誤與細微處

快速檢查

練習

先看這裡

本節是後面矩陣法的起點。接下來最有用的頁面是：

• 2.2 增廣矩陣與行運算
• 2.3 高斯消去與簡化階梯形
• 4.1 齊次方程組與零空間