9.1 內積、範數與夾角

到目前為止，課程大部分都在處理線性結構：張成、線性無關、基底、特徵向量、對角化。內積把幾何帶回來。它讓你可以在同一個向量空間裡談長度、垂直與夾角。

關鍵在於：這些幾何概念都可以由一個純量值運算編碼出來。

為甚麼這一節重要

當你寫下

\langle v,w\rangle=v^Tw,

你並不是引入一個新的符號作裝飾，而是在引入之後會控制正交性、投影、標準正交基與基本不等式的那個運算。

定義

標準內積

對向量 $v,w\in\mathbb{R}^m$ ，它們的內積定義為

\langle v,w\rangle =\sum_{i=1}^m v_iw_i =v^Tw.

它亦稱為點積。

例題

直接計算內積

若

v= \begin{bmatrix} 1\\2 \end{bmatrix}, \qquad w= \begin{bmatrix} 3\\4 \end{bmatrix},

則

\langle v,w\rangle=1\cdot3+2\cdot4=11.

若

u= \begin{bmatrix} 1\\2\\3 \end{bmatrix}, \qquad z= \begin{bmatrix} 4\\5\\6 \end{bmatrix},

則

\langle u,z\rangle=1\cdot4+2\cdot5+3\cdot6=32.

內積的基本性質

定理

線性、對稱與正定性

對向量 $u,v,w\in\mathbb{R}^m$ 及純量 $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ ，標準內積滿足：

\langle v+w,u\rangle=\langle v,u\rangle+\langle w,u\rangle;

\langle \alpha v,w\rangle=\alpha\langle v,w\rangle;

\langle v,w\rangle=\langle w,v\rangle;

\langle v,v\rangle\ge0,

而且等號成立當且僅當 $v=0$ 。

前兩條表示內積是線性的，第三條表示對稱，第四條表示它真的在量度某種大小，而不是任意帶符號的量。

證明

為甚麼正定性是關鍵公理

範數與單位向量

定義

範數

對 $v\in\mathbb{R}^m$ ，向量 v 的範數定義為

\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}.

所以範數就是由內積誘導出來的長度。

定理

範數的基本性質

對每個 $v\in\mathbb{R}^m$ 及每個純量 $\alpha\in\mathbb{R}$ ：

\|v\|\ge0,

而 $\|v\|=0$ 當且僅當 $v=0$ ；

\|\alpha v\|=|\alpha|\,\|v\|.

定義

單位向量

若向量 v 滿足

\|v\|=1,

則稱 v 為 單位向量。

若 $v\neq0$ ，則

\frac{v}{\|v\|}

是把 v 正規化後得到的單位向量。

例題

計範數並做正規化

令

v= \begin{bmatrix} 1\\2\\3 \end{bmatrix}.

則

\|v\|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}.

因此，對應的單位向量是

\frac{1}{\sqrt{14}} \begin{bmatrix} 1\\2\\3 \end{bmatrix}.

內積與範數互相決定

內積當然會決定範數，因為 $\|v\|^2=\langle v,v\rangle$ 。反過來，範數其實亦足以把內積重新找回來。

定理

轉換公式

對向量 $u,v\in\mathbb{R}^m$ ：

\|u\pm v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2\pm2\langle u,v\rangle;

極化恆等式為

\langle u,v\rangle=\frac12\bigl(\|u+v\|^2-\|u\|^2-\|v\|^2\bigr);

平行四邊形恆等式為

\|u+v\|^2+\|u-v\|^2=2\|u\|^2+2\|v\|^2.

這些公式說明：內積幾何之所以剛性很強，是因為一旦長度行為被固定，內積本身也會被固定。

向量之間的夾角

在 $\mathbb{R}^2$ 與 $\mathbb{R}^3$ 中，內積可以寫成熟悉的幾何形式

\langle x,y\rangle=\|x\|\,\|y\|\cos\theta,

其中 $\theta$ 是非零向量 x 與 y 的夾角。

因此

\theta=\arccos\!\left(\frac{\langle x,y\rangle}{\|x\|\,\|y\|}\right).

特別地，x 與 y 互相垂直，當且僅當

\langle x,y\rangle=0.

這個觀察之後便會在任意 $\mathbb{R}^m$ 中變成正交的代數定義。

常見錯誤

內積的結果是一個數，不是一個向量

學生有時看到 $v^Tw$ 會以為，既然是由向量相乘得來，結果也應是一個向量。不是的。內積永遠輸出一個單一純量。正因如此，它才可以用來量度長度與夾角。

快速檢查

$\langle (1,2),(3,4)\rangle$ 是多少？

逐項相乘後相加。

解答

答案

快速檢查

若 $\|v\|=0$ ，那 v 必須是甚麼？

利用範數的正定性。

解答

答案

快速檢查

若 $v\neq0$ ，為甚麼 `v/\|v\|` 一定是單位向量？

使用純量倍數下的範數公式。

解答

答案

練習

快速檢查

計算 $\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}$ 的範數。

用 $\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}$ 。

解答

引導解答

快速檢查

把 $\begin{bmatrix}2\\-2\\1\end{bmatrix}$ 正規化成單位向量。

先算範數。

解答

引導解答

快速檢查

若非零向量 x 與 y 滿足 $\langle x,y\rangle=0$ ，那在 $\mathbb{R}^2$ 或 $\mathbb{R}^3$ 中它們的夾角是多少？

用餘弦公式。

解答

9.1 內積、範數與夾角

MATH1030：線性代數 I

為甚麼這一節重要

標準內積

直接計算內積

內積的基本性質

線性、對稱與正定性

為甚麼正定性是關鍵公理

範數與單位向量

範數

範數的基本性質

單位向量

計範數並做正規化

內積與範數互相決定

轉換公式

向量之間的夾角

常見錯誤

內積的結果是一個數，不是一個向量

快速檢查

$\langle (1,2),(3,4)\rangle$ 是多少？

答案

若 $\|v\|=0$ ，那 v 必須是甚麼？

答案

若 $v\neq0$ ，為甚麼 `v/\|v\|` 一定是單位向量？

答案

練習

計算 $\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}$ 的範數。

引導解答

把 $\begin{bmatrix}2\\-2\\1\end{bmatrix}$ 正規化成單位向量。

引導解答

若非零向量 x 與 y 滿足 $\langle x,y\rangle=0$ ，那在 $\mathbb{R}^2$ 或 $\mathbb{R}^3$ 中它們的夾角是多少？

引導解答

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⟨(1,2),(3,4)⟩\langle (1,2),(3,4)\rangle⟨(1,2),(3,4)⟩ 是多少？

答案

若 ∥v∥=0\|v\|=0∥v∥=0，那 v 必須是甚麼？

答案

若 v≠0v\neq0v=0，為甚麼 v/\|v\| 一定是單位向量？

答案

練習

計算 [34]\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}[34​] 的範數。

引導解答

把 [2−21]\begin{bmatrix}2\\-2\\1\end{bmatrix}​2−21​​ 正規化成單位向量。

引導解答

若非零向量 x 與 y 滿足 ⟨x,y⟩=0\langle x,y\rangle=0⟨x,y⟩=0，那在 R2\mathbb{R}^2R2 或 R3\mathbb{R}^3R3 中它們的夾角是多少？

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若 $v\neq0$ ，為甚麼 `v/\|v\|` 一定是單位向量？

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把 $\begin{bmatrix}2\\-2\\1\end{bmatrix}$ 正規化成單位向量。

若非零向量 x 與 y 滿足 $\langle x,y\rangle=0$ ，那在 $\mathbb{R}^2$ 或 $\mathbb{R}^3$ 中它們的夾角是多少？