上一節用餘因子展開定義了行列式。那個定義是正確的，但並不是每次都
值得直接照着做的計算方法。真正強大的地方，在於把行列式與行變換放
在一起看。
這一節要回答三個問題：
- 每一種基本行變換會怎樣改變行列式；
- 為甚麼對方陣有 det(AB)=det(A)det(B)；
- 為甚麼 det(A)=0 與 A 可逆其實是同一句話。
為甚麼行變換重要
行化簡的作用，是把矩陣變成一個更容易處理的矩陣。若行列式要有用，
就必須知道這個「更容易處理的矩陣」與原矩陣之間，究竟差了多少。
定理
三種基本行變換對行列式的影響
設 A 是一個方陣。
- 若 B 是由 A 交換一次兩行得到，則
det(B)=−det(A).
- 若 B 是由 A 把某一行乘上非零純量 β 得到，則
det(B)=βdet(A).
- 若 B 是由 A 把某一行改成「原本那一行加上另一行的倍數」得
到，則
det(B)=det(A).這些都是精確公式，不是粗略印象。它們正正就是讓消元法與行列式可以
一起工作的記帳規則。
用行化簡計算行列式
假設你把一個方陣 A 化簡成上三角矩陣 U。那麼：
- 記錄一共用了多少次換行；
- 記錄有沒有把某一行乘上純量，以及乘了甚麼；
- 行加法不用額外處理，因為它不改變行列式；
- 最後從 U 的對角線乘積讀出 det(U)。
然後再把換號與縮放因素補回去，便得到 det(A)。
例題
用行化簡計算一個行列式
令
A=1232583710.做行變換：
1232583710R2−2R1, R3−3R1100212311R3−2R210021031−1.整個過程只用了「某行加上另一行倍數」這類行變換，所以行列式沒有改
變。最後矩陣已是上三角，因此
det(A)=1⋅1⋅(−1)=−1.例題
換行一次就會變號
令
B=[0413].交換兩行：
[0413]R1↔R2[4031].新矩陣是三角矩陣，所以它的行列式是 4。由於只交換了一次兩行，
det(B)=−4.這與直接用 2×2 公式計算得到的結果一致：
det(B)=0⋅3−1⋅4=−4.乘積公式是結構定理
定理
乘積的行列式
若 A 與 B 是同尺寸的方陣，則
det(AB)=det(A)det(B).這條定理比表面看起來深得多。矩陣乘法並不交換，通常 AB=BA。
即使如此，
det(AB)=det(A)det(B)=det(B)det(A)=det(BA)
所以行列式會忘記一部分乘法次序敏感的細節，但同時保留一個非常重要
的純量不變量。
行列式與可逆性其實是同一件事
定理
用行列式判斷可逆性
對任何方陣 A，下列兩件事等價：
- A 可逆。
- det(A)=0。
因此，行列式不只是數值摘要，它本身就是一個完整的可逆性測試。
若 A 的行階梯形有零行，那行列式就必為 0，所以 A 不可逆。若
行化簡最終得到的是單位矩陣，那對角線乘積非零，因此 A 可逆。
定理
逆矩陣與冪次的行列式
若 A 可逆，則
det(A−1)=det(A)1.更一般地，對每個正整數 m，
det(Am)=(det(A))m.若 A 可逆，這條冪次公式對負整數亦成立。
例題
找出令矩陣變成奇異的參數
令
A=20101102010311x1.沿第一列展開：
det(A)=21021031x1+112013111.第一個 3×3 行列式沿第二行展開最方便：
1021031x1=−x1213=−x.第二個行列式等於 −1，所以
det(A)=2(−x)+(−1)=−2x−1.因此 A 奇異當且僅當 det(A)=0，亦即
x=−21.手算時的實用清單
若你要用消元法計行列式，請保持以下紀律。
- 行加法可以放心用，因為它不改變行列式；
- 除非能帶來大幅簡化，否則不要太早做縮放，因為之後要把縮放因素補
回去；
- 每一次換行都要清楚記錄，因為每次都會變號；
- 一到上三角或出現零行，就應停下來讀值。
這跟你解線性系統時的紀律其實一樣。不同之處只在於，最終目標不再是
解向量，而是一個純量。
常見錯誤
常見錯誤
行等價不代表行列式相同
學生常常記得：行等價矩陣對應同一個線性系統的解集。然後便錯誤地推
出：它們的行列式也應相同。這是假的。
只有第三類行變換會保留行列式。換行會改號，而把一行乘上純量會把行
列式一起乘上那個純量。
快速檢查
快速檢查
若把 A 的其中一行乘上 5，det(A) 會怎樣變？
快速檢查
若 A 行化簡後出現零行，對 det(A) 可以下甚麼結論？
練習
快速檢查
用行化簡計算 det120131014。
快速檢查
若 det(A)=4 而 det(B)=−3，其中 A、B 都是 3×3 方陣，求 det(AB)。
快速檢查
若 det(A)=6，求 det(A−1)。
相關筆記
若你對基本定義仍覺得太符號化，可先回看
7.1 行列式與餘因子展開。
之後可繼續讀
7.3 轉置、列變換與克拉默法則，
從列的角度重看行列式。
另外亦應把
5.1 可逆矩陣
放在旁邊，因為本節等於用行列式補上了那一章的可逆性判準。