6.4 線性相依與線性獨立

為甚麼這一節重要

假設一組向量已經張成某個空間。如果其中一個向量其實可以由其他向量組合出來，那它就是多餘的。線性相依與線性獨立，就是用來找出這種多餘性的工具。

定義

線性獨立

若向量 $u_1, u_2, \ldots, u_n$ 滿足

\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + \cdots + \alpha_n u_n = 0

時，只有 $\alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_n = 0$ 這個解，那這組向量就是線性獨立。

定義

線性相依

若 $u_1, u_2, \ldots, u_n$ 存在一組不全為 0 的純量，使得

\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + \cdots + \alpha_n u_n = 0,

那這組向量就是線性相依。

邊看邊用下面的檢查器，試試一組小向量到底是「真的獨立」，還是有隱藏重複。

邊讀邊試

測試一組向量是否相依

互動檢查會比較幾組小向量，並解釋是否存在非平凡線性關係。

判斷

線性無關

解 c1e1 + c2e2 = 0 時，只會得到 c1 = c2 = 0，所以這一對向量線性無關。

關鍵關係

看不見任何非平凡線性關係。

一個簡單讀法

筆記給了兩個很實用的結論：

如果一組向量是相依的，總有一個向量可以寫成其他向量的線性組合；
如果一組向量是獨立的，就沒有任何一個向量可以這樣寫。

這是實際判斷時最快的讀法。

例題

相依意味著有一條關係式

筆記裡有

u_3 = u_1 + u_2.

改寫後就是

u_1 + u_2 - u_3 = 0.

這是一條非平凡線性關係，所以這組向量是線性相依。

證明

為甚麼相依代表有一個向量多餘

常見錯誤

相依不等於沒用

一組相依向量仍然可以張成一個空間。它只是有多餘成分，所以在想找最小張成集時特別有用。

矩陣判準與主元判準

把 $u_1,\dots,u_n$ 排成欄向量矩陣

A=[u_1\ u_2\ \cdots\ u_n].

線性關係

\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_nu_n=0

正正就是齊次系統 $A\alpha=0$ 。所以「線性獨立」等價於此系統只有平凡解。

定理

獨立性的矩陣等價判準

$u_1,\dots,u_n$ 線性獨立，當且僅當 $A=[u_1\ \cdots\ u_n]$ 每一欄都有主元（等價地， $A\alpha=0$ 沒有自由變數）。

例題

用行化簡判斷獨立

令

u_1=\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix},\ u_2=\begin{bmatrix}2\\4\\3\end{bmatrix},\ u_3=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}.

設 $A=[u_1\ u_2\ u_3]$ ，化簡可得每一欄都有主元，所以三向量線性獨立。

快速檢查

$R^3$ 裡的 $e_1, e_2, e_3$ 是否線性獨立？

試試向量方程 $\alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + \alpha_3 e_3 = 0$ 。

解答

答案

快速檢查

只要一組向量包含零向量，它還可能線性獨立嗎？

直接用定義判斷。

解答

答案

快速檢查

若 $R^3$ 裡有 5 個向量，能否線性獨立？

用主元數目上限判斷。

解答

答案

練習

快速檢查

判斷 `{(1,0,1),(2,1,3),(0,1,1)}` 是否線性獨立。

把三個向量放成矩陣欄，再做行化簡。

解答

引導解答

快速檢查

把 `{(1,2,3),(2,4,6),(1,0,1)}` 的相依關係寫出來。

先找明顯倍數關係。

解答

引導解答

相依就是冗餘

定理

等價的冗餘判準

一組向量線性相依，當且僅當其中一個向量可以寫成其餘向量的線性組合。

證明

為甚麼相依與冗餘是一回事

例題

刪去冗餘向量，不會改變張成

令

u_1 = \begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix},\qquad u_2 = \begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix},\qquad u_3 = \begin{bmatrix}1\\3\\2\end{bmatrix}.

這裡 $u_3 = u_1 + u_2$ 。因此任何

a u_1 + b u_2 + c u_3

都可改寫成

(a+c)u_1 + (b+c)u_2.

所以

\operatorname{Span}\{u_1,u_2,u_3\} = \operatorname{Span}\{u_1,u_2\}.

第三個向量改變了描述方式，但沒有改變張成本身。

定理

冗餘向量可以刪去，而不改變張成

若一組向量之中有一個向量是其餘向量的線性組合，刪去它之後，張成不會改變。

證明

為甚麼張成保持不變

常見錯誤

相依不代表張成變小

一組相依向量仍然可以張成整個空間。相依只表示至少有一個向量其實不需要。

欄矩陣判準與零空間觀點

把向量排成矩陣

A = [u_1\ u_2\ \cdots\ u_n].

則關係式

\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_nu_n=0

正正就是齊次系統 $A\alpha=0$ ，其中 $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)^T$ 。

定理

矩陣判據

$u_1,\dots,u_n$ 線性獨立，當且僅當齊次系統 $A\alpha=0$ 只有平凡解。等價地，N(A) 只包含 0。

證明

為甚麼齊次系統決定依賴性

例題

從行化簡讀出一條關係式

考慮

A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 3\\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix},

其三欄分別是 $u_1=(1,2,1)^T$ 、 $u_2=(0,1,1)^T$ 、 $u_3=(1,3,2)^T$ 。行化簡得

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 3\\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2-2R_1,\ R_3-R_1} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3-R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.

第三欄不是主元欄，所以 $\alpha_3$ 是自由變數。取 $\alpha_3=1$ ，便有 $\alpha_1=-1$ 、 $\alpha_2=-1$ ，因此

-u_1-u_2+u_3=0,

也就是 $u_3=u_1+u_2$ 。

定理

主元判據

把 $A$ 行化簡之後，若每一欄都有主元，則 $u_1,\dots,u_n$ 線性獨立。若有一欄不是主元欄，就會出現自由變數，因此存在非平凡關係式。

常見錯誤

行化簡是為了看齊次系統，不是要改變原來的向量

做相依性測試時，行化簡 $A$ 不是把原本的向量換成另一批想研究的新向量，而是在簡化方程 $A\alpha=0$ 。行等價矩陣有相同的齊次解集，所以它們有相同的依賴關係。

低維快速判斷

定理

兩個非零向量獨立，當且僅當它們不是彼此的純量倍數

對一組 {u,v}，若兩個向量都非零，則它們線性獨立，當且僅當其中一個不是另一個的純量倍數。

證明

兩個向量為何只需看倍數關係

例題

$R^2$ 裡的兩個向量

令

u = \begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}, \qquad v = \begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}.

因為 $v=2u$ ，所以這對向量相依。幾何上，它們指向同一個方向。

例題

$R^2$ 裡三個向量一定相依

若 $u_1,u_2,u_3 \in R^2$ ，則矩陣 $A=[u_1\ u_2\ u_3]$ 是一個 $2\times 3$ 矩陣。行化簡後最多只有兩個主元，所以一定有一欄不是主元欄。這就表示 $A\alpha=0$ 有自由變數，因此這三個向量相依。

例題

$R^3$ 裡位於同一平面的三個向量

若 $R^3$ 中三個向量都落在平面 $z=0$ ，它們全都屬於 $e_1$ 和 $e_2$ 的張成。但那個平面本身只需要兩個獨立方向來描述，所以第三個向量不可能再提供新的獨立方向。這組向量相依。

定理

在 $R^m$ 裡，太多向量一定相依

$R^m$ 中任何多於 m 個向量的列表都一定線性相依。

證明

為甚麼超過 `m` 個向量不可能全部獨立

快速檢查

任何包含零向量的向量列，都一定相依嗎？

直接從定義出發。

解答

答案

快速檢查

若 $u_3 = u_1 + u_2$ ， $\\{u_1,u_2,u_3\\}$ 還可能獨立嗎？

把它改寫成 $\\alpha_1u_1+\\alpha_2u_2+\\alpha_3u_3=0$ 。

解答

答案

快速檢查

若一個 $4\\times 4$ 矩陣有四個主元列，這代表它的列向量有甚麼性質？

用矩陣判據回答。

解答

答案

引導練習

快速檢查

判斷 `\\{(1,1,0),(0,1,1),(1,2,1)\\}` 是否獨立，若不獨立，寫出一條關係式。

把向量排成列，再做行化簡，看看有沒有自由變數。

解答

引導解答

快速檢查

解釋為甚麼線性獨立集合的任何子集也線性獨立。

想想若子集自己有關係式，會對整個集合造成甚麼影響。

解答

引導解答

快速檢查

若一組向量裡有一個向量是多餘的，下一步通常應該做甚麼？

用本頁的冗餘觀點來想。

解答

引導解答

預備連結

這一頁建立在 6.3 線性組合與張成和 2.3 高斯消去與 RREF 之上。

6.4 線性相依與線性獨立

MATH1030：線性代數 I

為甚麼這一節重要

線性獨立

線性相依

測試一組向量是否相依

一個簡單讀法

相依意味著有一條關係式

為甚麼相依代表有一個向量多餘

常見錯誤

相依不等於沒用

矩陣判準與主元判準

獨立性的矩陣等價判準

用行化簡判斷獨立

快速檢查

R3R^3R3 裡的 e1,e2,e3e_1, e_2, e_3e1​,e2​,e3​ 是否線性獨立？

答案

只要一組向量包含零向量，它還可能線性獨立嗎？

答案

若 R3R^3R3 裡有 5 個向量，能否線性獨立？

答案

練習

判斷 {(1,0,1),(2,1,3),(0,1,1)} 是否線性獨立。

引導解答

把 {(1,2,3),(2,4,6),(1,0,1)} 的相依關係寫出來。

引導解答

相依就是冗餘

等價的冗餘判準

為甚麼相依與冗餘是一回事

刪去冗餘向量，不會改變張成

冗餘向量可以刪去，而不改變張成

為甚麼張成保持不變

相依不代表張成變小

欄矩陣判準與零空間觀點

矩陣判據

為甚麼齊次系統決定依賴性

從行化簡讀出一條關係式

主元判據

行化簡是為了看齊次系統，不是要改變原來的向量

低維快速判斷

兩個非零向量獨立，當且僅當它們不是彼此的純量倍數

兩個向量為何只需看倍數關係

R2R^2R2 裡的兩個向量

R2R^2R2 裡三個向量一定相依

R3R^3R3 裡位於同一平面的三個向量

在 RmR^mRm 裡，太多向量一定相依

為甚麼超過 m 個向量不可能全部獨立

快速檢查

任何包含零向量的向量列，都一定相依嗎？

答案

若 u3=u1+u2u_3 = u_1 + u_2u3​=u1​+u2​，u1,u2,u3\\{u_1,u_2,u_3\\}u1​,u2​,u3​ 還可能獨立嗎？

答案

若一個 4times44\\times 44times4 矩陣有四個主元列，這代表它的列向量有甚麼性質？

答案

引導練習

判斷 \\{(1,1,0),(0,1,1),(1,2,1)\\} 是否獨立，若不獨立，寫出一條關係式。

引導解答

解釋為甚麼線性獨立集合的任何子集也線性獨立。

引導解答

若一組向量裡有一個向量是多餘的，下一步通常應該做甚麼？

引導解答

預備連結

本節掌握 checkpoint

先備知識

本單元重點詞彙

本系列更多筆記

$R^3$ 裡的 $e_1, e_2, e_3$ 是否線性獨立？

若 $R^3$ 裡有 5 個向量，能否線性獨立？

判斷 `{(1,0,1),(2,1,3),(0,1,1)}` 是否線性獨立。

把 `{(1,2,3),(2,4,6),(1,0,1)}` 的相依關係寫出來。

$R^2$ 裡的兩個向量

$R^2$ 裡三個向量一定相依

$R^3$ 裡位於同一平面的三個向量

在 $R^m$ 裡，太多向量一定相依

為甚麼超過 `m` 個向量不可能全部獨立

若 $u_3 = u_1 + u_2$ ， $\\{u_1,u_2,u_3\\}$ 還可能獨立嗎？

若一個 $4\\times 4$ 矩陣有四個主元列，這代表它的列向量有甚麼性質？

判斷 `\\{(1,1,0),(0,1,1),(1,2,1)\\}` 是否獨立，若不獨立，寫出一條關係式。