7.3 轉置、列變換與克拉默法則

上一節主要從「行」的角度研究行列式。這一節要把圖像橫過來看。

轉置會把行與列互換。一旦這種對稱被建立起來，沿列展開與列變換就會像沿行展開與行變換一樣合法。最後，本章再以兩個經典公式作收束：伴隨矩陣與克拉默法則。

轉置不會改變行列式

定理

轉置矩陣的行列式

對每個方陣 $A$ ，

\det(A^T)=\det(A).

這條定理在觀念上很重要。行列式雖然是沿行去定義的，但它並沒有暗中偏愛「行」而排斥「列」。轉置只是把兩種視角互換，最終得到的純量不會改變。

定理

可沿任意一列作餘因子展開

若 $A=[a_{ij}]$ 是方陣，而你固定第 j 列，則

\det(A)=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}.

等價地，

\det(A)=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}.

因此，你可以沿行展開，也可以沿列展開。真正重要的不是方向，而是你選中的那條行或列是否能令子式最容易計。

例題

沿着零較多的列去展開

令

A= \begin{bmatrix} 1&7&0\\ 6&9&8\\ 0&1&5 \end{bmatrix}.

第三列有一個零，所以沿第三列展開：

\det(A)= 0\cdot A_{13} +8A_{23} +5A_{33}.

因此

\det(A) =-8 \begin{vmatrix} 1&7\\ 0&1 \end{vmatrix} +5 \begin{vmatrix} 1&7\\ 6&9 \end{vmatrix} =-8(1)+5(9-42)=-173.

同一個答案當然也可以用行展開得到，但挑對列會令算式短很多。

列變換遵守同一套模式

由於轉置不改變行列式，每一條關於行變換的規則，都有一條完全對應的列變換版本。

定理

列變換對行列式的影響

設 $B$ 是由方陣 $A$ 做一次基本列變換得到。

交換兩列，行列式乘上 $-1$ 。
把某一列乘上 $\beta$ ，行列式也乘上 $\beta$ 。
把某一列改成「原本那一列加上另一列的倍數」，行列式不變。

例題

用列變換製造零

考慮

C= \begin{bmatrix} 3&2&-1\\ 4&1&6\\ -3&-1&2 \end{bmatrix}.

做列變換 $-C_2+C_1$ 與 $C_3+C_1$ ：

\begin{bmatrix} 3&2&-1\\ 4&1&6\\ -3&-1&2 \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} 1&2&0\\ 3&1&9\\ -2&-1&-1 \end{bmatrix}.

這兩步都只是「某列加上另一列倍數」，所以行列式沒有改變。現在沿第三列展開：

\det(C)= 9 \begin{vmatrix} 1&2\\ -2&-1 \end{vmatrix} -1 \begin{vmatrix} 1&2\\ 3&1 \end{vmatrix} =9(3)-(-5)=22.

關鍵不是列變換一定比行變換優勝，而是你應該用那個能最快製造零、又最少記帳的方向。

伴隨矩陣把所有餘因子一次過收集起來

單一個餘因子可以處理一次展開；伴隨矩陣則把所有餘因子集中到同一個矩陣內。

定義

伴隨矩陣

對 $n\times n$ 矩陣 $A=[a_{ij}]$ ，先寫出它的餘因子矩陣：

\begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1n}\\ A_{21}&A_{22}&\cdots&A_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_{n1}&A_{n2}&\cdots&A_{nn} \end{bmatrix}.

把這個餘因子矩陣轉置，便得到 伴隨矩陣

\operatorname{adj}(A)= \begin{bmatrix} A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn} \end{bmatrix}.

定理

伴隨矩陣恆等式與逆矩陣公式

對每個方陣 $A$ ，

A\,\operatorname{adj}(A)=\det(A)I.

若 $\det(A)\neq0$ ，則 $A$ 可逆，而且

A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).

這條公式在觀念上非常漂亮，但在數值計算上通常不如行化簡有效。它最重要的作用，是把逆矩陣與餘因子展開之間的代數結構完整顯示出來。

例題

由伴隨矩陣重建 2×2 逆矩陣公式

令

A= \begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}, \qquad \det(A)=ad-bc\neq0.

其餘因子矩陣是

\begin{bmatrix} d&-c\\ -b&a \end{bmatrix},

所以

\operatorname{adj}(A)= \begin{bmatrix} d&-b\\ -c&a \end{bmatrix}.

因此

A^{-1}= \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d&-b\\ -c&a \end{bmatrix}.

平時熟悉的 $2\times2$ 逆矩陣公式，實際上就是伴隨矩陣恆等式在最小方陣情況下的寫法。

克拉默法則是逐個座標求解

定理

克拉默法則

令 $A$ 是可逆的 $n\times n$ 矩陣，並令 $b\in\mathbb{R}^n$ 。對每個 j，把 $A$ 的第 j 列改成 b，得到矩陣 $M_j$ 。

若 x 是系統

Ax=b

的唯一解，則

x_j=\frac{\det(M_j)}{\det(A)}.

克拉默法則漂亮之處，在於每個座標都由一個行列式比值單獨表示出來。它對大系統通常不是最快的方法，但對理解「方陣可逆系統的每個座標究竟怎樣依賴係數矩陣與右邊向量」非常有力。

例題

用克拉默法則解一個 2×2 系統

求解

\begin{cases} 2x_1+x_2=5,\\ x_1+3x_2=7. \end{cases}

寫成

A= \begin{bmatrix} 2&1\\ 1&3 \end{bmatrix}, \qquad b= \begin{bmatrix} 5\\ 7 \end{bmatrix}.

先算

\det(A)=2\cdot3-1\cdot1=5.

把第一列換成 b：

M_1= \begin{bmatrix} 5&1\\ 7&3 \end{bmatrix}, \qquad \det(M_1)=15-7=8.

把第二列換成 b：

M_2= \begin{bmatrix} 2&5\\ 1&7 \end{bmatrix}, \qquad \det(M_2)=14-5=9.

因此

x_1=\frac{8}{5}, \qquad x_2=\frac{9}{5}.

常見錯誤

克拉默法則不是所有線性系統都可用

克拉默法則要求係數矩陣必須是方陣，而且其行列式非零。若系統是長方形矩陣，或者係數矩陣本身奇異，克拉默法則便不能使用。即使條件滿足，對大系統來說，它通常亦比高斯消元慢。

快速檢查

轉置會改變方陣的行列式嗎？

直接說出定理。

解答

答案

快速檢查

哪一種列變換會保留行列式？

想想第三類行變換的列版本。

解答

答案

快速檢查

甚麼時候可以用克拉默法則？

說出對 A 的結構要求。

解答

答案

練習

快速檢查

用列展開計算 $\det\begin{bmatrix}1&0&2\\3&4&5\\0&0&6\end{bmatrix}$ 。

選零最多的列。

解答

引導解答

快速檢查

對 $A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$ ，寫出 $\operatorname{adj}(A)$ 。

先算四個餘因子，再轉置餘因子矩陣。

解答

引導解答

快速檢查

用克拉默法則求系統 $x_1+x_2=3$ 、 $2x_1-x_2=0$ 的 $x_1$ 。

只需要 $\det(A)$ 與 $\det(M_1)$ 。

解答

7.3 轉置、列變換與克拉默法則

MATH1030：線性代數 I

轉置不會改變行列式

轉置矩陣的行列式

可沿任意一列作餘因子展開

沿着零較多的列去展開

列變換遵守同一套模式

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用列變換製造零

伴隨矩陣把所有餘因子一次過收集起來

伴隨矩陣

伴隨矩陣恆等式與逆矩陣公式

由伴隨矩陣重建 2×2 逆矩陣公式

克拉默法則是逐個座標求解

克拉默法則

用克拉默法則解一個 2×2 系統

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答案

哪一種列變換會保留行列式？

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甚麼時候可以用克拉默法則？

答案

練習

用列展開計算 $\det\begin{bmatrix}1&0&2\\3&4&5\\0&0&6\end{bmatrix}$ 。

引導解答

對 $A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$ ，寫出 $\operatorname{adj}(A)$ 。

引導解答

用克拉默法則求系統 $x_1+x_2=3$ 、 $2x_1-x_2=0$ 的 $x_1$ 。

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用列展開計算 det⁡[102345006]\det\begin{bmatrix}1&0&2\\3&4&5\\0&0&6\end{bmatrix}det​130​040​256​​。

引導解答

對 A=[1234]A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}A=[13​24​]，寫出 adj⁡(A)\operatorname{adj}(A)adj(A)。

引導解答

用克拉默法則求系統 x1+x2=3x_1+x_2=3x1​+x2​=3、2x1−x2=02x_1-x_2=02x1​−x2​=0 的 x1x_1x1​。

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