上一节用余因子展开定义了行列式。那个定义是正确的，但并不是每次都
值得直接照着做的计算方法。真正强大的地方，在于把行列式与行变换放
在一起看。
这一节要回答三个问题：
- 每一种基本行变换会怎样改变行列式；
- 为什么对方阵有 det(AB)=det(A)det(B)；
- 为什么 det(A)=0 与 A 可逆其实是同一句话。
为什么行变换重要
行化简的作用，是把矩阵变成一个更容易处理的矩阵。若行列式要有用，
就必须知道这个“更容易处理的矩阵”与原矩阵之间，究竟差了多少。
定理
三种基本行变换对行列式的影响
设 A 是一个方阵。
- 若 B 是由 A 交换一次两行得到，则
det(B)=−det(A).
- 若 B 是由 A 把某一行乘上非零标量 β 得到，则
det(B)=βdet(A).
- 若 B 是由 A 把某一行改成“原本那一行加上另一行的倍数”得
到，则
det(B)=det(A).这些都是精确公式，不是粗略印象。它们正正就是让消元法与行列式可以
一起工作的记账规则。
用行化简计算行列式
假设你把一个方阵 A 化简成上三角矩阵 U。那么：
- 记录一共用了多少次换行；
- 记录有没有把某一行乘上标量，以及乘了什么；
- 行加法不用额外处理，因为它不改变行列式；
- 最后从 U 的对角线乘积读出 det(U)。
然后再把换号与缩放因素补回去，便得到 det(A)。
例题
用行化简计算一个行列式
令
A=1232583710.做行变换：
1232583710R2−2R1, R3−3R1100212311R3−2R210021031−1.整个过程只用了“某行加上另一行倍数”这一类行变换，所以行列式没有改
变。最后矩阵已是上三角，因此
det(A)=1⋅1⋅(−1)=−1.例题
换行一次就会变号
令
B=[0413].交换两行：
[0413]R1↔R2[4031].新矩阵是三角矩阵，所以它的行列式是 4。由于只交换了一次两行，
det(B)=−4.这与直接用 2×2 公式计算得到的结果一致：
det(B)=0⋅3−1⋅4=−4.乘积公式是结构定理
定理
乘积的行列式
若 A 与 B 是同尺寸的方阵，则
det(AB)=det(A)det(B).这条定理比表面看起来深得多。矩阵乘法并不交换，通常 AB=BA。
即使如此，
det(AB)=det(A)det(B)=det(B)det(A)=det(BA)
所以行列式会忘记一部分乘法次序敏感的细节，但同时保留一个非常重要
的标量不变量。
行列式与可逆性其实是同一件事
定理
用行列式判断可逆性
对任何方阵 A，下列两件事等价：
- A 可逆。
- det(A)=0。
因此，行列式不只是数值摘要，它本身就是一个完整的可逆性测试。
若 A 的行阶梯形有零行，那行列式就必为 0，所以 A 不可逆。若
行化简最终得到的是单位矩阵，那对角线乘积非零，因此 A 可逆。
定理
逆矩阵与幂次的行列式
若 A 可逆，则
det(A−1)=det(A)1.更一般地，对每个正整数 m，
det(Am)=(det(A))m.若 A 可逆，这条幂次公式对负整数也成立。
例题
找出令矩阵变成奇异的参数
令
A=20101102010311x1.沿第一列展开：
det(A)=21021031x1+112013111.第一个 3×3 行列式沿第二行展开最方便：
1021031x1=−x1213=−x.第二个行列式等于 −1，所以
det(A)=2(−x)+(−1)=−2x−1.因此 A 奇异当且仅当 det(A)=0，也就是
x=−21.手算时的实用清单
若你要用消元法算行列式，请保持以下纪律。
- 行加法可以放心用，因为它不改变行列式；
- 除非能带来大幅简化，否则不要太早做缩放，因为之后要把缩放因素补
回去；
- 每一次换行都要清楚记录，因为每次都会变号；
- 一到上三角或出现零行，就应停下来读值。
这跟你解线性系统时的纪律其实一样。不同之处只在于，最终目标不再是
解向量，而是一个标量。
常见错误
常见错误
行等价不代表行列式相同
学生常常记得：行等价矩阵对应同一个线性系统的解集。然后便错误地推
出：它们的行列式也应相同。这是假的。
只有第三类行变换会保留行列式。换行会改号，而把一行乘上标量会把行
列式一起乘上那个标量。
快速检查
快速检查
若把 A 的其中一行乘上 5，det(A) 会怎样变？
快速检查
若 A 行化简后出现零行，对 det(A) 可以下什么结论？
练习
快速检查
用行化简计算 det120131014。
快速检查
若 det(A)=4 而 det(B)=−3，其中 A、B 都是 3×3 方阵，求 det(AB)。
快速检查
若 det(A)=6，求 det(A−1)。
相关笔记
若你对基本定义仍觉得太符号化，可先回看
7.1 行列式与余因子展开。
之后可继续读
7.3 转置、列变换与克拉默法则，
从列的角度重看行列式。
另外也应把
5.1 可逆矩阵
放在旁边，因为本节等于用行列式补上了那一章的可逆性判准。