7.3 转置、列变换与克拉默法则

上一节主要从“行”的角度研究行列式。这一节要把图像横过来看。

转置会把行与列互换。一旦这种对称被建立起来，沿列展开与列变换就会像沿行展开与行变换一样合法。最后，本章再以两个经典公式作收束：伴随矩阵与克拉默法则。

转置不会改变行列式

定理

转置矩阵的行列式

对每个方阵 $A$ ，

\det(A^T)=\det(A).

这条定理在观念上很重要。行列式虽然是沿行去定义的，但它并没有暗中偏爱“行”而排斥“列”。转置只是把两种视角互换，最终得到的标量不会改变。

定理

可沿任意一列作余因子展开

若 $A=[a_{ij}]$ 是方阵，而你固定第 j 列，则

\det(A)=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}.

等价地，

\det(A)=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}.

因此，你可以沿行展开，也可以沿列展开。真正重要的不是方向，而是你选中的那条行或列是否能令子式最容易算。

例题

沿着零较多的列去展开

令

A= \begin{bmatrix} 1&7&0\\ 6&9&8\\ 0&1&5 \end{bmatrix}.

第三列有一个零，所以沿第三列展开：

\det(A)= 0\cdot A_{13} +8A_{23} +5A_{33}.

因此

\det(A) =-8 \begin{vmatrix} 1&7\\ 0&1 \end{vmatrix} +5 \begin{vmatrix} 1&7\\ 6&9 \end{vmatrix} =-8(1)+5(9-42)=-173.

同一个答案当然也可以用行展开得到，但挑对列会令算式短很多。

列变换遵守同一套模式

由于转置不改变行列式，每一条关于行变换的规则，都有一条完全对应的列变换版本。

定理

列变换对行列式的影响

设 $B$ 是由方阵 $A$ 做一次基本列变换得到。

交换两列，行列式乘上 $-1$ 。
把某一列乘上 $\beta$ ，行列式也乘上 $\beta$ 。
把某一列改成“原本那一列加上另一列的倍数”，行列式不变。

例题

用列变换制造零

考虑

C= \begin{bmatrix} 3&2&-1\\ 4&1&6\\ -3&-1&2 \end{bmatrix}.

做列变换 $-C_2+C_1$ 与 $C_3+C_1$ ：

\begin{bmatrix} 3&2&-1\\ 4&1&6\\ -3&-1&2 \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} 1&2&0\\ 3&1&9\\ -2&-1&-1 \end{bmatrix}.

这两步都只是“某列加上另一列倍数”，所以行列式没有改变。现在沿第三列展开：

\det(C)= 9 \begin{vmatrix} 1&2\\ -2&-1 \end{vmatrix} -1 \begin{vmatrix} 1&2\\ 3&1 \end{vmatrix} =9(3)-(-5)=22.

关键不是列变换一定比行变换更优，而是你应该用那个能最快制造零、又最少记账的方向。

伴随矩阵把所有余因子一次性收集起来

单个余因子可以处理一次展开；伴随矩阵则把所有余因子集中到同一个矩阵中。

定义

伴随矩阵

对 $n\times n$ 矩阵 $A=[a_{ij}]$ ，先写出它的余因子矩阵：

\begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1n}\\ A_{21}&A_{22}&\cdots&A_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_{n1}&A_{n2}&\cdots&A_{nn} \end{bmatrix}.

把这个余因子矩阵转置，便得到 伴随矩阵

\operatorname{adj}(A)= \begin{bmatrix} A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn} \end{bmatrix}.

定理

伴随矩阵恒等式与逆矩阵公式

对每个方阵 $A$ ，

A\,\operatorname{adj}(A)=\det(A)I.

若 $\det(A)\neq0$ ，则 $A$ 可逆，而且

A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).

这条公式在观念上非常漂亮，但在数值计算上通常不如行化简有效。它最重要的作用，是把逆矩阵与余因子展开之间的代数结构完整显示出来。

例题

由伴随矩阵重建 2×2 逆矩阵公式

令

A= \begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}, \qquad \det(A)=ad-bc\neq0.

其余因子矩阵是

\begin{bmatrix} d&-c\\ -b&a \end{bmatrix},

所以

\operatorname{adj}(A)= \begin{bmatrix} d&-b\\ -c&a \end{bmatrix}.

因此

A^{-1}= \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d&-b\\ -c&a \end{bmatrix}.

平时熟悉的 $2\times2$ 逆矩阵公式，实际上就是伴随矩阵恒等式在最小方阵情形下的写法。

克拉默法则是逐个坐标求解

定理

克拉默法则

令 $A$ 是可逆的 $n\times n$ 矩阵，并令 $b\in\mathbb{R}^n$ 。对每个 j，把 $A$ 的第 j 列改成 b，得到矩阵 $M_j$ 。

若 x 是系统

Ax=b

的唯一解，则

x_j=\frac{\det(M_j)}{\det(A)}.

克拉默法则漂亮之处，在于每个坐标都由一个行列式比值单独表示出来。它对大系统通常不是最快的方法，但对理解“方阵可逆系统的每个坐标究竟怎样依赖系数矩阵与右侧向量”非常有力。

例题

用克拉默法则解一个 2×2 系统

求解

\begin{cases} 2x_1+x_2=5,\\ x_1+3x_2=7. \end{cases}

写成

A= \begin{bmatrix} 2&1\\ 1&3 \end{bmatrix}, \qquad b= \begin{bmatrix} 5\\ 7 \end{bmatrix}.

先算

\det(A)=2\cdot3-1\cdot1=5.

把第一列换成 b：

M_1= \begin{bmatrix} 5&1\\ 7&3 \end{bmatrix}, \qquad \det(M_1)=15-7=8.

把第二列换成 b：

M_2= \begin{bmatrix} 2&5\\ 1&7 \end{bmatrix}, \qquad \det(M_2)=14-5=9.

因此

x_1=\frac{8}{5}, \qquad x_2=\frac{9}{5}.

常见错误

克拉默法则不是所有线性系统都可用

克拉默法则要求系数矩阵必须是方阵，而且其行列式非零。若系统是长方形矩阵，或者系数矩阵本身奇异，克拉默法则便不能使用。即使条件满足，对大系统来说，它通常也比高斯消元慢。

快速检查

转置会改变方阵的行列式吗？

直接说出定理。

解答

答案

快速检查

哪一种列变换会保留行列式？

想想第三类行变换的列版本。

解答

答案

快速检查

什么时候可以用克拉默法则？

说出对 A 的结构要求。

解答

答案

练习

快速检查

用列展开计算 $\det\begin{bmatrix}1&0&2\\3&4&5\\0&0&6\end{bmatrix}$ 。

选零最多的列。

解答

引导解答

快速检查

对 $A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$ ，写出 $\operatorname{adj}(A)$ 。

先算四个余因子，再转置余因子矩阵。

解答

引导解答

快速检查

用克拉默法则求系统 $x_1+x_2=3$ 、 $2x_1-x_2=0$ 的 $x_1$ 。

只需要 $\det(A)$ 与 $\det(M_1)$ 。

解答

7.3 转置、列变换与克拉默法则

MATH1030：线性代数 I

转置不会改变行列式

转置矩阵的行列式

可沿任意一列作余因子展开

沿着零较多的列去展开

列变换遵守同一套模式

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伴随矩阵把所有余因子一次性收集起来

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克拉默法则

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答案

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用列展开计算 $\det\begin{bmatrix}1&0&2\\3&4&5\\0&0&6\end{bmatrix}$ 。

引导解答

对 $A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$ ，写出 $\operatorname{adj}(A)$ 。

引导解答

用克拉默法则求系统 $x_1+x_2=3$ 、 $2x_1-x_2=0$ 的 $x_1$ 。

引导解答

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填空：对可逆方阵系统 Ax=b，克拉默法则指出 x_j = ____。

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答案

哪一种列变换会保留行列式？

答案

什么时候可以用克拉默法则？

答案

练习

用列展开计算 det⁡[102345006]\det\begin{bmatrix}1&0&2\\3&4&5\\0&0&6\end{bmatrix}det​130​040​256​​。

引导解答

对 A=[1234]A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}A=[13​24​]，写出 adj⁡(A)\operatorname{adj}(A)adj(A)。

引导解答

用克拉默法则求系统 x1+x2=3x_1+x_2=3x1​+x2​=3、2x1−x2=02x_1-x_2=02x1​−x2​=0 的 x1x_1x1​。

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