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8.1预计阅读时间: 12 分钟

8.1 特征值、特征向量与特征空间

由方程 Av=λv 定义特征值与特征向量，再把同一个概念改写成零空间与行列式问题，让整个结构变得可计算。

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MATH1030：线性代数 I

以严谨方式整理的线性代数笔记，涵盖方程组、矩阵、结构与证明；互动只在真正有助理解数学时使用。

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章节 1方程组1 节
1.11.1 方程与解集
章节 2矩阵与消元4 节
2.12.1 矩阵基础2.22.2 增广矩阵与行变换2.32.3 高斯消元与最简行阶梯形2.42.4 解集的种类
章节 3矩阵代数2 节
3.13.1 矩阵乘法与单位矩阵3.23.2 转置与特殊矩阵
章节 4解的结构1 节
4.14.1 齐次方程组与零空间
章节 5可逆性1 节
5.15.1 可逆矩阵
章节 6向量空间6 节
6.16.1 向量空间6.26.2 子空间6.36.3 线性组合与张成6.46.4 线性相依与线性无关6.56.5 基底与维数6.66.6 列空间、行空间与秩
章节 7行列式3 节
7.17.1 行列式与余因子展开7.27.2 行变换、乘积与可逆性7.37.3 转置、列变换与克拉默法则
章节 8特征值与对角化3 节
8.18.1 特征值、特征向量与特征空间当前小节8.28.2 对角化与相似8.38.3 特征多项式与对角化测试
章节 9内积与正交性4 节
9.19.1 内积、范数与夹角9.29.2 正交集与标准正交基9.39.3 Gram-Schmidt 正交化9.49.4 Cauchy-Schwarz 与三角不等式

行列式会告诉你一个方阵是否可逆。特征值问的是另一个问题：哪些向量在 矩阵作用之下仍然保持原来的方向。

大部分向量经过矩阵乘法后，方向都会被改变。特征向量则是例外。它只会 被拉长、缩短，或者反向，而不会偏离本身张成的直线。这就是为什么特征 值揭示的是矩阵的内部几何，而不只是方程组能否求解。

为什么这一节重要

当你解 Ax=bAx=b 时，你关心的是整个系统。当你研究特征值时，你关心的是 那些特别的向量 v，使得矩阵作用退化成较简单的规则

Av=λv.Av=\lambda v.

一旦找出这些向量，之后便能更容易处理矩阵的幂、理解对角化，并描述哪 些方向在变换下是不变的。

定义

特征值与特征向量

设 AA 是一个 n×nn\times n 方阵。设 λ\lambda 是一个标量，而 v 是 Rn\mathbb{R}^n 中的非零列向量。

若

Av=λv,Av=\lambda v,

便称 v 是 AA 对应于 特征值 λ\lambda 的 特征向量。

这里必须要求 v 非零。因为零向量对每个标量都满足 A0=λ0A0=\lambda0， 若把它允许进来，定义便会失去内容。

重点在于，矩阵作用与标量乘法在这个向量上完全一致。v 的方向被保 留，改变的只是长度与符号。

由定义立刻得到的结论

定理

同一个特征向量只会对应一个特征值

设 AA 是方阵，而 v 是非零向量。若

Av=λv且Av=μv,Av=\lambda v \qquad\text{且}\qquad Av=\mu v,

则 λ=μ\lambda=\mu。

原因很直接。把两式相减：

(λ−μ)v=0.(\lambda-\mu)v=0.

由于 v≠0v\neq0，只可能是标量系数本身为 0，所以 λ=μ\lambda=\mu。

定理

特征向量的非零倍数仍是特征向量

若 v 是 AA 对应于特征值 λ\lambda 的特征向量，则每个非零标量倍 cv 也是 AA 的特征向量，而且对应同一个特征值 λ\lambda。

因此，特征向量从来不会只以单个向量出现；它自然代表一条穿过原点的 直线。

定理

同一特征值下的线性组合

设 u1,…,uku_1,\dots,u_k 都是 AA 的特征向量，而且都对应同一个特征值 λ\lambda。则每个非零线性组合

α1u1+⋯+αkuk\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_ku_k

仍然是 AA 对应于 λ\lambda 的特征向量。

这已经暗示：一旦把零向量加回去，对应同一个特征值的所有特征向量会形 成一个子空间。

第一批例子

例题

一个 2×2 矩阵有两个不同特征值

令

A=[1330−6−14].A= \begin{bmatrix} 13&30\\ -6&-14 \end{bmatrix}.

先看向量

u1=[5−2].u_1= \begin{bmatrix} 5\\ -2 \end{bmatrix}.

计算得

Au1=[1330−6−14][5−2]=[5−2]=1⋅u1.Au_1= \begin{bmatrix} 13&30\\ -6&-14 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5\\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\\ -2 \end{bmatrix} =1\cdot u_1.

所以 u1u_1 是特征向量，而对应特征值为 1。

再看

u2=[2−1].u_2= \begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix}.

则

Au2=[−42]=−2[2−1]=−2u2.Au_2= \begin{bmatrix} -4\\ 2 \end{bmatrix} =-2 \begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix} =-2u_2.

所以 u2u_2 对应的特征值是 −2-2。

例题

同一个特征值可以对应多个方向

令

B=[211121112].B= \begin{bmatrix} 2&1&1\\ 1&2&1\\ 1&1&2 \end{bmatrix}.

向量

u1=[111]u_1= \begin{bmatrix} 1\\1\\1 \end{bmatrix}

满足 Bu1=4u1Bu_1=4u_1，所以 4 是其中一个特征值。

再看

u2=[1−10],u3=[10−1].u_2= \begin{bmatrix} 1\\-1\\0 \end{bmatrix}, \qquad u_3= \begin{bmatrix} 1\\0\\-1 \end{bmatrix}.

二者都满足

Bu2=u2,Bu3=u3.Bu_2=u_2, \qquad Bu_3=u_3.

所以同一个特征值 1 至少已有两个线性无关的特征向量。这并不违反前 面的唯一性定理。那条定理只说：固定一个非零向量之后，它不能同时对应 两个不同特征值。它没有说：一个特征值只会有一个方向。

特征值其实是一个零空间问题

方程 Av=λvAv=\lambda v 若把所有项移到同一边，便变成

Av−λv=0.Av-\lambda v=0.

由于 λv=λInv\lambda v=\lambda I_nv，这等价于

(A−λIn)v=0.(A-\lambda I_n)v=0.

定理

用齐次系统描述特征值

设 AA 是 n×nn\times n 矩阵，λ\lambda 是标量，而 v≠0v\neq0。

下列两件事等价：

  1. v 是 AA 对应于特征值 λ\lambda 的特征向量。
  2. v 是齐次系统
(A−λIn)x=0(A-\lambda I_n)x=0

的一个非平凡解。

于是，特征值问题便被改写成普通的线性系统问题。向量 v 必须落在 A−λIA-\lambda I 的零空间内。

定义

特征空间

设 AA 是 n×nn\times n 矩阵，而 λ\lambda 是 AA 的一个特征值。则 AA 对应于 λ\lambda 的 特征空间 定义为

EA(λ)=N(A−λIn).E_A(\lambda)=N(A-\lambda I_n).

因此，特征空间包含所有对应于 λ\lambda 的特征向量，以及零向量。

因为它本身是一个零空间，所以 EA(λ)E_A(\lambda) 自动是一个子空间。

特征值的等价刻画

一旦有了零空间版本，前面学过的可逆性词典便可以直接搬过来。

定理

判断 λ 是否为特征值的等价条件

设 AA 是 n×nn\times n 矩阵，而 λ\lambda 是标量。下列叙述等价：

  1. λ\lambda 是 AA 的特征值。
  2. (A−λIn)x=0(A-\lambda I_n)x=0 有非平凡解。
  3. N(A−λIn)≠{0}N(A-\lambda I_n)\neq\{0\}。
  4. A−λInA-\lambda I_n 不可逆。
  5. det⁡(A−λIn)=0\det(A-\lambda I_n)=0。

这条定理把特征值与行列式直接接起来，之后便会导向特征多项式。

例题

用行化简找特征值与特征空间

令

C=[323−2].C= \begin{bmatrix} 3&2\\ 3&-2 \end{bmatrix}.

先解

det⁡(C−λI)=0.\det(C-\lambda I)=0.

得到

det⁡[3−λ23−2−λ]=(3−λ)(−2−λ)−6=λ2−λ−12.\det \begin{bmatrix} 3-\lambda&2\\ 3&-2-\lambda \end{bmatrix} =(3-\lambda)(-2-\lambda)-6 =\lambda^2-\lambda-12.

因此特征值为

λ=4,λ=−3.\lambda=4,\qquad \lambda=-3.

对 λ=4\lambda=4，

C−4I=[−123−6]∼[1−200].C-4I= \begin{bmatrix} -1&2\\ 3&-6 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1&-2\\ 0&0 \end{bmatrix}.

所以 x1=2x2x_1=2x_2，可取一组基为

[21].\begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix}.

对 λ=−3\lambda=-3，

C+3I=[6231]∼[3100].C+3I= \begin{bmatrix} 6&2\\ 3&1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 3&1\\ 0&0 \end{bmatrix}.

所以 3x1+x2=03x_1+x_2=0，可取一组基为

[1−3].\begin{bmatrix} 1\\-3 \end{bmatrix}.

因此

EC(4)=span⁡{[21]},EC(−3)=span⁡{[1−3]}.E_C(4)=\operatorname{span}\left\{ \begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix} \right\}, \qquad E_C(-3)=\operatorname{span}\left\{ \begin{bmatrix} 1\\-3 \end{bmatrix} \right\}.

重要性质

定理

0 是否为特征值，正好等同于可逆与否

对方阵 AA，下列两件事等价：

  1. 0 是 AA 的特征值。
  2. AA 不可逆。

等价地，AA 可逆当且仅当 0 不是它的特征值。

这其实只是把前面的等价条件代入 λ=0\lambda=0。

定理

简单矩阵运算下的特征值变化

若 λ\lambda 是 AA 的特征值，则：

  1. kλk\lambda 是 kA 的特征值；
  2. 对每个非负整数 m，λm\lambda^m 是 AmA^m 的特征值；
  3. λ\lambda 也是 ATA^T 的特征值；
  4. 若 AA 可逆，则 λ−1\lambda^{-1} 是 A−1A^{-1} 的特征值。

这些性质都不神秘。它们只是把相应的矩阵运算直接套在方程 Av=λvAv=\lambda v 上。

常见错误

常见错误

零向量永远不是特征向量

学生常会留意到 A0=λ0A0=\lambda0 对所有标量都成立，于是误以为零向量是所 有特征值的特征向量。正因如此，定义才必须排除零向量。特征向量代表的 是某个真正的方向，而零向量没有方向可言。

快速检查

快速检查

若 v 是 AA 对应于特征值 λ\lambda 的特征向量，则 3v 也是吗？

假设 v≠0v\neq0。

解答

答案

快速检查

为什么 0 是特征值会迫使 AA 不可逆？

利用系统 (A−0I)x=0(A-0I)x=0 去理解。

解答

答案

快速检查

用零空间语言写出 EA(λ)E_A(\lambda)。

直接使用刚才的定义。

解答

答案

练习

快速检查

证明 [11]\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} 是 [2112]\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix} 的特征向量，并找出其特征值。

先做矩阵乘法，再与原向量比较。

解答

引导解答

快速检查

求 A=[1004]A=\begin{bmatrix}1&0\\0&4\end{bmatrix} 对应于特征值 4 的特征空间。

解 (A−4I)x=0(A-4I)x=0。

解答

引导解答

快速检查

若 AA 可逆，则 0 会否成为 ATA^T 的特征值？

把转置性质与可逆性判准合起来想。

解答

引导解答

相关笔记

请把 7.2 行变换、乘积与可逆性 放在旁边，因为测试 det⁡(A−λI)=0\det(A-\lambda I)=0 直接依赖行列式与可逆性的理 解。

接着可读 8.2 对角化与相似， 看看一整组特征向量如何改变矩阵的整体形状。

本节的子空间观点也依赖 6.5 基底与维数。

本节掌握 checkpoint

要完成这一节 checkpoint，需要把每一题答对。 答对进度: 0%.

技能点: eigenvalue, invertibility, determinant

下列哪一项与“0 是方阵 A 的一个特征值”等价？

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先备知识

7.2

7.2 行变换、乘积与可逆性

6.5

6.5 基底与维数

本单元重点词汇

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