9.4 Cauchy-Schwarz 与三角不等式

内积给你长度与夹角的公式。接下来的问题是：这些公式究竟受到什么限制？

答案主要由两条不等式统治：

Cauchy-Schwarz 不等式控制内积的大小，不会超过两个向量长度的乘积；
三角不等式说明，由 0 走到 $u+v$ 的直路，永远不会比先走 u 再走 v 更长。

它们不是可有可无的技术细节，而是让欧氏几何可以代数化的核心估计。

Cauchy-Schwarz 不等式

定理

Cauchy-Schwarz 不等式

对所有向量 $v,w\in\mathbb{R}^m$ ，

|\langle v,w\rangle|\le\|v\|\,\|w\|.

而且等号成立当且仅当 v 与 w 线性相关。

这条不等式表示：内积的绝对值，不可能大过两个向量长度的乘积。正因如此，夹角公式

\cos\theta=\frac{\langle v,w\rangle}{\|v\|\,\|w\|}

才有意义，因为右边永远落在 $-1$ 与 1 之间。

证明

用二次多项式证明

例题

数值检查 Cauchy-Schwarz

令

v= \begin{bmatrix} 1\\2\\3 \end{bmatrix}, \qquad w= \begin{bmatrix} 4\\5\\6 \end{bmatrix}.

则

\langle v,w\rangle=32, \qquad \|v\|=\sqrt{14}, \qquad \|w\|=\sqrt{77}.

所以

|\langle v,w\rangle|=32, \qquad \|v\|\,\|w\|=\sqrt{14\cdot77}=\sqrt{1078}\approx32.83.

确实有

32\le32.83.

三角不等式

定理

三角不等式

对所有向量 $u,v\in\mathbb{R}^m$ ，

\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|.

而且等号成立当且仅当 u 与 v 其中一个是另一个的非负标量倍。

几何意义很直接：三角形的一边，永远不会比另外两边的总和更长。

证明

由 Cauchy-Schwarz 推出三角不等式

定理

反向三角不等式

对所有向量 $u,v\in\mathbb{R}^m$ ，

\|u-v\|\ge\bigl|\|u\|-\|v\|\bigr|.

而等号条件与前面相同。

这个版本在你需要下界而不是上界时，往往更容易用。

等号条件很重要

等号条件不是补充说明，而是告诉你估计何时会变得恰好。

在 Cauchy-Schwarz 中，等号表示两个向量沿同一直线，因此其中一个是另一个的标量倍；
在三角不等式中，等号表示两个向量沿同一方向，而且比例非负，所以走 u 再走 v 真的是沿同一条直线前进。

例题

三角不等式取等的情形

令

u= \begin{bmatrix} 2\\0 \end{bmatrix}, \qquad v= \begin{bmatrix} 3\\0 \end{bmatrix}.

则 $v=\frac32u$ ，所以 v 是 u 的非负标量倍。于是

\|u+v\|=\left\| \begin{bmatrix} 5\\0 \end{bmatrix} \right\|=5 =2+3 =\|u\|+\|v\|.

所以等号成立。

常见错误

Cauchy-Schwarz 取等不等于正交

正交表示 $\langle v,w\rangle=0$ 。Cauchy-Schwarz 取等表示

|\langle v,w\rangle|=\|v\|\,\|w\|,

它发生在两个向量线性相关时，而不是垂直时。这两种几何情形几乎是相反的。

快速检查

Cauchy-Schwarz 对 $|\langle v,w\rangle|$ 给出什么估计？

直接写出不等式。

解答

答案

快速检查

若 `u` 与 `v` 完全同方向，三角不等式可以取等吗？

假设其中一个是另一个的非负标量倍。

解答

答案

快速检查

若 $v\perp w$ ，Cauchy-Schwarz 会化成什么？

代入 $\langle v,w\rangle=0$ 。

解答

答案

练习

快速检查

用 Cauchy-Schwarz 证明 $|\langle (1,2),(3,4)\rangle| \le \|(1,2)\|\,\|(3,4)\|$ 。

把两边数值都算出来。

解答

引导解答

快速检查

对 $u=(1,0)$ 与 $v=(0,1)$ ，求 $\|u+v\|$ ，并与 $\|u\|+\|v\|$ 比较。

这是直角情形。

解答

引导解答

快速检查

若 $\|u\|=7$ 、 $\|v\|=3$ ，利用反向三角不等式求 $\|u-v\|$ 的下界。

直接代公式。

解答

9.4 Cauchy-Schwarz 与三角不等式

MATH1030：线性代数 I

Cauchy-Schwarz 不等式

Cauchy-Schwarz 不等式

用二次多项式证明

数值检查 Cauchy-Schwarz

三角不等式

三角不等式

由 Cauchy-Schwarz 推出三角不等式

反向三角不等式

等号条件很重要

三角不等式取等的情形

常见错误

Cauchy-Schwarz 取等不等于正交

快速检查

Cauchy-Schwarz 对 $|\langle v,w\rangle|$ 给出什么估计？

答案

若 `u` 与 `v` 完全同方向，三角不等式可以取等吗？

答案

若 $v\perp w$ ，Cauchy-Schwarz 会化成什么？

答案

练习

用 Cauchy-Schwarz 证明 $|\langle (1,2),(3,4)\rangle| \le \|(1,2)\|\,\|(3,4)\|$ 。

引导解答

对 $u=(1,0)$ 与 $v=(0,1)$ ，求 $\|u+v\|$ ，并与 $\|u\|+\|v\|$ 比较。

引导解答

若 $\|u\|=7$ 、 $\|v\|=3$ ，利用反向三角不等式求 $\|u-v\|$ 的下界。

引导解答

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Cauchy-Schwarz 对 ∣⟨v,w⟩∣|\langle v,w\rangle|∣⟨v,w⟩∣ 给出什么估计？

答案

若 u 与 v 完全同方向，三角不等式可以取等吗？

答案

若 v⊥wv\perp wv⊥w，Cauchy-Schwarz 会化成什么？

答案

练习

用 Cauchy-Schwarz 证明 ∣⟨(1,2),(3,4)⟩∣≤∥(1,2)∥ ∥(3,4)∥|\langle (1,2),(3,4)\rangle| \le \|(1,2)\|\,\|(3,4)\|∣⟨(1,2),(3,4)⟩∣≤∥(1,2)∥∥(3,4)∥。

引导解答

对 u=(1,0)u=(1,0)u=(1,0) 与 v=(0,1)v=(0,1)v=(0,1)，求 ∥u+v∥\|u+v\|∥u+v∥，并与 ∥u∥+∥v∥\|u\|+\|v\|∥u∥+∥v∥ 比较。

引导解答

若 ∥u∥=7\|u\|=7∥u∥=7、∥v∥=3\|v\|=3∥v∥=3，利用反向三角不等式求 ∥u−v∥\|u-v\|∥u−v∥ 的下界。

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