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9.1 内积、范数与夹角

定义 R^m 上的标准内积与范数，再把这些公式连到长度、夹角与最基本的不等式结构。

课程目录

MATH1030：线性代数 I

以严谨方式整理的线性代数笔记，涵盖方程组、矩阵、结构与证明；互动只在真正有助理解数学时使用。

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章节 1方程组1 节
1.11.1 方程与解集
章节 2矩阵与消元4 节
2.12.1 矩阵基础2.22.2 增广矩阵与行变换2.32.3 高斯消元与最简行阶梯形2.42.4 解集的种类
章节 3矩阵代数2 节
3.13.1 矩阵乘法与单位矩阵3.23.2 转置与特殊矩阵
章节 4解的结构1 节
4.14.1 齐次方程组与零空间
章节 5可逆性1 节
5.15.1 可逆矩阵
章节 6向量空间6 节
6.16.1 向量空间6.26.2 子空间6.36.3 线性组合与张成6.46.4 线性相依与线性无关6.56.5 基底与维数6.66.6 列空间、行空间与秩
章节 7行列式3 节
7.17.1 行列式与余因子展开7.27.2 行变换、乘积与可逆性7.37.3 转置、列变换与克拉默法则
章节 8特征值与对角化3 节
8.18.1 特征值、特征向量与特征空间8.28.2 对角化与相似8.38.3 特征多项式与对角化测试
章节 9内积与正交性4 节
9.19.1 内积、范数与夹角当前小节9.29.2 正交集与标准正交基9.39.3 Gram-Schmidt 正交化9.49.4 Cauchy-Schwarz 与三角不等式

到目前为止，课程大部分都在处理线性结构：张成、线性无关、基底、特征 向量、对角化。内积把几何带回来。它让你可以在同一个向量空间里谈长 度、垂直与夹角。

关键在于：这些几何概念都可以由一个标量值运算编码出来。

为什么这一节重要

当你写下

⟨v,w⟩=vTw,\langle v,w\rangle=v^Tw,

你并不是引入一个新的符号作装饰，而是在引入之后会控制正交性、投影、 标准正交基与基本不等式的那个运算。

定义

标准内积

对向量 v,w∈Rmv,w\in\mathbb{R}^m，它们的 内积 定义为

⟨v,w⟩=∑i=1mviwi=vTw.\langle v,w\rangle =\sum_{i=1}^m v_iw_i =v^Tw.

它也称为 点积。

例题

直接计算内积

若

v=[12],w=[34],v= \begin{bmatrix} 1\\2 \end{bmatrix}, \qquad w= \begin{bmatrix} 3\\4 \end{bmatrix},

则

⟨v,w⟩=1⋅3+2⋅4=11.\langle v,w\rangle=1\cdot3+2\cdot4=11.

若

u=[123],z=[456],u= \begin{bmatrix} 1\\2\\3 \end{bmatrix}, \qquad z= \begin{bmatrix} 4\\5\\6 \end{bmatrix},

则

⟨u,z⟩=1⋅4+2⋅5+3⋅6=32.\langle u,z\rangle=1\cdot4+2\cdot5+3\cdot6=32.

内积的基本性质

定理

线性、对称与正定性

对向量 u,v,w∈Rmu,v,w\in\mathbb{R}^m 及标量 α,β∈R\alpha,\beta\in\mathbb{R}，标 准内积满足：

⟨v+w,u⟩=⟨v,u⟩+⟨w,u⟩;\langle v+w,u\rangle=\langle v,u\rangle+\langle w,u\rangle;
⟨αv,w⟩=α⟨v,w⟩;\langle \alpha v,w\rangle=\alpha\langle v,w\rangle;
⟨v,w⟩=⟨w,v⟩;\langle v,w\rangle=\langle w,v\rangle;
⟨v,v⟩≥0,\langle v,v\rangle\ge0,

而且等号成立当且仅当 v=0v=0。

前两条表示内积是线性的，第三条表示对称，第四条表示它真的在量度某种 大小，而不是任意带符号的量。

证明

为什么正定性是关键公理

范数与单位向量

定义

范数

对 v∈Rmv\in\mathbb{R}^m，向量 v 的 范数 定义为

∥v∥=⟨v,v⟩.\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}.

所以范数就是由内积诱导出来的长度。

定理

范数的基本性质

对每个 v∈Rmv\in\mathbb{R}^m 及每个标量 α∈R\alpha\in\mathbb{R}：

∥v∥≥0,\|v\|\ge0,

而 ∥v∥=0\|v\|=0 当且仅当 v=0v=0；

∥αv∥=∣α∣ ∥v∥.\|\alpha v\|=|\alpha|\,\|v\|.

定义

单位向量

若向量 v 满足

∥v∥=1,\|v\|=1,

则称 v 为 单位向量。

若 v≠0v\neq0，则

v∥v∥\frac{v}{\|v\|}

是把 v 规范化后得到的单位向量。

例题

算范数并做规范化

令

v=[123].v= \begin{bmatrix} 1\\2\\3 \end{bmatrix}.

则

∥v∥=12+22+32=14.\|v\|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}.

因此，对应的单位向量是

114[123].\frac{1}{\sqrt{14}} \begin{bmatrix} 1\\2\\3 \end{bmatrix}.

内积与范数互相决定

内积当然会决定范数，因为 ∥v∥2=⟨v,v⟩\|v\|^2=\langle v,v\rangle。反过来，范数 其实也足以把内积重新找回来。

定理

转换公式

对向量 u,v∈Rmu,v\in\mathbb{R}^m：

∥u±v∥2=∥u∥2+∥v∥2±2⟨u,v⟩;\|u\pm v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2\pm2\langle u,v\rangle;
  1. 极化恒等式为
⟨u,v⟩=12(∥u+v∥2−∥u∥2−∥v∥2);\langle u,v\rangle=\frac12\bigl(\|u+v\|^2-\|u\|^2-\|v\|^2\bigr);
  1. 平行四边形恒等式为
∥u+v∥2+∥u−v∥2=2∥u∥2+2∥v∥2.\|u+v\|^2+\|u-v\|^2=2\|u\|^2+2\|v\|^2.

这些公式说明：内积几何之所以刚性很强，是因为一旦长度行为被固定，内 积本身也会被固定。

向量之间的夹角

在 R2\mathbb{R}^2 与 R3\mathbb{R}^3 中，内积可以写成熟悉的几何形 式

⟨x,y⟩=∥x∥ ∥y∥cos⁡θ,\langle x,y\rangle=\|x\|\,\|y\|\cos\theta,

其中 θ\theta 是非零向量 x 与 y 的夹角。

因此

θ=arccos⁡ ⁣(⟨x,y⟩∥x∥ ∥y∥).\theta=\arccos\!\left(\frac{\langle x,y\rangle}{\|x\|\,\|y\|}\right).

特别地，x 与 y 互相垂直，当且仅当

⟨x,y⟩=0.\langle x,y\rangle=0.

这个观察之后便会在任意 Rm\mathbb{R}^m 中变成正交的代数定义。

常见错误

常见错误

内积的结果是一个数，不是一个向量

学生有时看到 vTwv^Tw 会以为，既然是由向量相乘得来，结果也应是一个向 量。不是的。内积永远输出一个单一标量。正因如此，它才可以用来量度长 度与夹角。

快速检查

快速检查

⟨(1,2),(3,4)⟩\langle (1,2),(3,4)\rangle 是多少？

逐项相乘后相加。

解答

答案

快速检查

若 ∥v∥=0\|v\|=0，那 v 必须是什么？

利用范数的正定性。

解答

答案

快速检查

若 v≠0v\neq0，为什么 v/\|v\| 一定是单位向量？

使用标量倍数下的范数公式。

解答

答案

练习

快速检查

计算 [34]\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix} 的范数。

用 ∥v∥=⟨v,v⟩\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}。

解答

引导解答

快速检查

把 [2−21]\begin{bmatrix}2\\-2\\1\end{bmatrix} 规范化成单位向量。

先算范数。

解答

引导解答

快速检查

若非零向量 x 与 y 满足 ⟨x,y⟩=0\langle x,y\rangle=0，那在 R2\mathbb{R}^2 或 R3\mathbb{R}^3 中它们的夹角是多少？

用余弦公式。

解答

引导解答

相关笔记

接着可读 9.2 正交集与标准正交基， 看看内积如何用来构造坐标公式与特别方便的基底。

再下一节 9.4 Cauchy-Schwarz 与三角不等式 则会把本节引入的内积与范数公式推到两条核心估计。

本章也延续了 6.5 基底与维数 所展开的几何主线。

本节掌握 checkpoint

要完成这一节 checkpoint，需要把每一题答对。 答对进度: 0%.

技能点: inner-product, orthogonal

在 R^m 中，哪个条件与“向量 v 与 w 正交”等价？

已用尝试次数: 0

剩余尝试次数: 不限尝试次数

预览不会消耗尝试次数。

提交会记录一次正式评分尝试。

先备知识

6.1

6.1 向量空间

本单元重点词汇

本系列更多笔记

上一节

8.3 特征多项式与对角化测试

下一节

9.2 正交集与标准正交基