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9.2 正交集与标准正交基

利用正交性建立正交基与标准正交基，然后在不每次重解线性系统的情况下直接读出坐标系数。

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MATH1030：线性代数 I

以严谨方式整理的线性代数笔记，涵盖方程组、矩阵、结构与证明；互动只在真正有助理解数学时使用。

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章节 1方程组1 节
1.11.1 方程与解集
章节 2矩阵与消元4 节
2.12.1 矩阵基础2.22.2 增广矩阵与行变换2.32.3 高斯消元与最简行阶梯形2.42.4 解集的种类
章节 3矩阵代数2 节
3.13.1 矩阵乘法与单位矩阵3.23.2 转置与特殊矩阵
章节 4解的结构1 节
4.14.1 齐次方程组与零空间
章节 5可逆性1 节
5.15.1 可逆矩阵
章节 6向量空间6 节
6.16.1 向量空间6.26.2 子空间6.36.3 线性组合与张成6.46.4 线性相依与线性无关6.56.5 基底与维数6.66.6 列空间、行空间与秩
章节 7行列式3 节
7.17.1 行列式与余因子展开7.27.2 行变换、乘积与可逆性7.37.3 转置、列变换与克拉默法则
章节 8特征值与对角化3 节
8.18.1 特征值、特征向量与特征空间8.28.2 对角化与相似8.38.3 特征多项式与对角化测试
章节 9内积与正交性4 节
9.19.1 内积、范数与夹角9.29.2 正交集与标准正交基当前小节9.39.3 Gram-Schmidt 正交化9.49.4 Cauchy-Schwarz 与三角不等式

一旦有了内积，便可以挑出一类几何上特别简洁的向量族：正交集。

它们重要之处，在于正交性可以取代消元法。在正交基底中，坐标系数不需 再每次重解一个线性系统，而可以直接由内积读出来。

正交

定义

正交向量

若向量 v,w∈Rmv,w\in\mathbb{R}^m 满足

⟨v,w⟩=0,\langle v,w\rangle=0,

则称 v 与 w 正交，记作

v⊥w.v\perp w.

重要之处不是在图画上“看起来垂直”，而是在任意维度中都可由内积的代数 条件来判定。

例题

用内积检查正交

令

v=[123],w=[−1−11].v= \begin{bmatrix} 1\\2\\3 \end{bmatrix}, \qquad w= \begin{bmatrix} -1\\-1\\1 \end{bmatrix}.

则

⟨v,w⟩=1(−1)+2(−1)+3(1)=0.\langle v,w\rangle=1(-1)+2(-1)+3(1)=0.

所以 v 与 w 正交。

正交集

定义

正交集

有限集合 S={v1,…,vk}S=\{v_1,\dots,v_k\} 若满足：

  1. 集内每个向量都非零；
  2. 对任意 i≠ji\neq j，都有 vi⊥vjv_i\perp v_j；

则称 SS 为 Rm\mathbb{R}^m 中的一个 正交集。

这里要求非零，非常重要。若允许零向量，那么任何含有 0 的集合都会 因 ⟨0,v⟩=0\langle0,v\rangle=0 而显得“正交”，这会令结构定理失去内容。

定理

非零正交集自动线性无关

若 S={v1,…,vk}S=\{v_1,\dots,v_k\} 是 Rm\mathbb{R}^m 中的一个正交集，则 SS 必线性无关。

证明

为什么正交集必线性无关

正交基中的坐标公式

正交性的强大之处，在于它能把坐标系数公式化。

定理

正交集中的系数公式

设 S={v1,…,vk}S=\{v_1,\dots,v_k\} 是正交集，而

v=α1v1+⋯+αkvk.v=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_kv_k.

则对每个 i，

αi=⟨v,vi⟩∥vi∥2.\alpha_i=\frac{\langle v,v_i\rangle}{\|v_i\|^2}.

因此

v=⟨v,v1⟩∥v1∥2v1+⋯+⟨v,vk⟩∥vk∥2vk.v= \frac{\langle v,v_1\rangle}{\|v_1\|^2}v_1 +\cdots+ \frac{\langle v,v_k\rangle}{\|v_k\|^2}v_k.

这是正交性的主要实用回报。你不需要再解一个系统去找系数。

例题

用内积直接找坐标

令

v1=[111],v2=[1−10],v3=[11−2].v_1= \begin{bmatrix} 1\\1\\1 \end{bmatrix}, \quad v_2= \begin{bmatrix} 1\\-1\\0 \end{bmatrix}, \quad v_3= \begin{bmatrix} 1\\1\\-2 \end{bmatrix}.

这是一个正交集。令

v=[123].v= \begin{bmatrix} 1\\2\\3 \end{bmatrix}.

则

α1=⟨v,v1⟩∥v1∥2=63=2,\alpha_1=\frac{\langle v,v_1\rangle}{\|v_1\|^2} =\frac{6}{3}=2,α2=⟨v,v2⟩∥v2∥2=−12=−12,\alpha_2=\frac{\langle v,v_2\rangle}{\|v_2\|^2} =\frac{-1}{2}=-\frac12,α3=⟨v,v3⟩∥v3∥2=−36=−12.\alpha_3=\frac{\langle v,v_3\rangle}{\|v_3\|^2} =\frac{-3}{6}=-\frac12.

所以

v=2v1−12v2−12v3.v=2v_1-\frac12v_2-\frac12v_3.

正交基与标准正交基

定义

正交基

设 VV 是 Rm\mathbb{R}^m 的子空间。若集合 SS 同时满足：

  1. SS 是 VV 的一组基底；
  2. SS 是正交集；

则称 SS 为 VV 的 正交基。

由于非零正交集自动线性无关，所以若你已知一个正交集属于 VV，要检查 它是不是正交基，只需再检查它是否张成 VV。

定理

正交基判准

设 VV 是 Rm\mathbb{R}^m 的子空间。若 SS 是 VV 中的一个正交子集， 则 SS 是 VV 的正交基，当且仅当 SS 张成 VV。

定义

标准正交基

集合 S={v1,…,vk}S=\{v_1,\dots,v_k\} 若既正交，而且每个向量都满足 ∥vi∥=1\|v_i\|=1， 则称 SS 为 标准正交。等价写法是

⟨vi,vj⟩={1,i=j,0,i≠j.\langle v_i,v_j\rangle= \begin{cases} 1,& i=j,\\ 0,& i\neq j. \end{cases}

若这样的集合同样也是一组基底，便称为 标准正交基。

对标准正交基而言，坐标公式会再简化。

定理

标准正交基中的坐标公式

若 S={v1,…,vk}S=\{v_1,\dots,v_k\} 是一个标准正交集，而

v∈span⁡{v1,…,vk},v\in\operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\},

则

v=⟨v,v1⟩v1+⋯+⟨v,vk⟩vk.v=\langle v,v_1\rangle v_1+\cdots+\langle v,v_k\rangle v_k.

因为每个向量的范数都是 1，分母自然消失。

常见错误

常见错误

正交不等于已经是基底

正交集一定线性无关，但它未必张成你关心的整个空间。正交性免费给你线 性无关；它不会免费给你张成性。

快速检查

快速检查

正交集可以包含零向量吗？

用定义回答，不要只看 ⟨0,v⟩=0⟨0,v⟩=0。

解答

答案

快速检查

为什么标准基向量 e1,…,eme_1,\dots,e_m 彼此正交？

计算它们之间的内积。

解答

答案

快速检查

若使用的是标准正交基，v 在 viv_i 方向上的系数是多少？

利用标准正交坐标公式。

解答

答案

练习

快速检查

证明 {(1,2),(−2,1)}\{(1,2),(-2,1)\} 是 R2\mathbb{R}^2 的一组正交基。

先检查正交，再判断是否张成。

解答

引导解答

快速检查

令 u1=(1,0,1)u_1=(1,0,1)、u2=(1,−2,1)u_2=(1,-2,1)。求 v=(2,−2,2)v=(2,-2,2) 在这组正交基下的系数。

直接使用正交系数公式。

解答

引导解答

快速检查

把正交基 {(3,4),(4,−3)}\{(3,4),(4,-3)\} 规范化。

把每个向量除以自己的范数。

解答

引导解答

相关笔记

应先读 9.1 内积、范数与夹角， 因为本节所有公式都建立在那里的内积与范数定义之上。

之后可继续读 9.3 Gram-Schmidt 正交化， 看看任意基底如何系统地转成正交基。

本节的基底语言也依赖 6.5 基底与维数。

本节掌握 checkpoint

要完成这一节 checkpoint，需要把每一题答对。 答对进度: 0%.

技能点: orthonormal-basis, inner-product, coordinates

填空：若 {v1,...,vk} 是标准正交集，而 v 落在它们的张成空间内，则 v 在 vi 方向上的系数是 ____。

已用尝试次数: 0

剩余尝试次数: 不限尝试次数

预览不会消耗尝试次数。

提交会记录一次正式评分尝试。

输入格式提示: 输入 `⟨v,v_i⟩` 或 `<v,vi>` 这种简短符号答案已足够。

先备知识

9.1

9.1 内积、范数与夹角

6.5

6.5 基底与维数

本单元重点词汇

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