4.1 齐次方程组与零空间

当你已经懂得对方程组做行化简，下一步就不应只问“这一题怎样解”，而应问 “全部解究竟有什么结构”。齐次方程组是最适合开始问这个问题的地方，而零空间正是回答这个问题的语言。

为什么齐次方程组特别

齐次线性方程组的常数项全部都是 0。用矩阵写，就是

Ax = 0.

这种情况有一个立刻可见的特点：零向量永远是它的解。

定义

齐次方程组

齐次线性方程组是形如

Ax = 0

的线性方程组。

其中 $x = 0$ 称为平凡解。

真正的问题在于：除了平凡解之外，是否还有非平凡解。

零空间把所有齐次解收集起来

定义

零空间

若 $A$ 是矩阵，则 $A$ 的零空间定义为

N(A) = \{x : Ax = 0\}.

因此 N(A) 正正就是齐次方程组 $Ax = 0$ 的解集。

这个定义把“一些解”变成一个完整的数学对象。你不再只是在列例子，而是在描述整个集合。

行化简会揭示零空间的形状

要找 N(A)，就是解 $Ax = 0$ ，也就是对增广系统 $[A \mid 0]$ 做行化简。主元告诉你哪些变量被决定，自由变量则告诉你剩下多少自由方向。

例题

解一个齐次方程组并描述零空间

令

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -2 \end{bmatrix}.

要求解 $Ax = 0$ ，把它行化简：

\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 2 & 4 & -2 & 0 \end{array} \right] \sim \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right].

所以方程变成

x_1 + 2x_2 - x_3 = 0.

令 $x_2 = s$ 、 $x_3 = t$ 为自由变量，则

x_1 = -2s + t.

因此

x = \begin{bmatrix} -2s + t \\ s \\ t \end{bmatrix} = s \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}.

所以

N(A) = \operatorname{Span} \left\{ \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}.

这个例子说明：零空间描述的不只是“有没有解”，而是全部解如何被建立出来。

齐次解控制非齐次解的结构

同一个想法也可用来描述一致系统 $Ax = b$ 的全部解。

定理

所有解都等于某个特解加上一个零空间向量

设 $x_p$ 是 $Ax = b$ 的一个特解。

则向量 x 是 $Ax = b$ 的解，当且仅当

x = x_p + v

其中 $v \in N(A)$ 。

这正是自由变量公式背后的结构定理。

证明

为什么全部解都具有 $x_p + N(A)$ 的形式

一个非齐次例子

例题

把所有解写成特解加零空间

假设系统 $Ax = b$ 有一个特解

x_p = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},

并且

N(A) = \operatorname{Span} \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}.

那么所有解都可写成

x = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 + t \\ -t \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad t \in R.

零空间给出自由方向；特解则决定这整个解族位于哪里。

为什么自由变量会迫出无限多个齐次解

从行化简角度去看，一个重要结论会立刻出现。

定理

只要有自由变量，就有无限多个解

如果齐次系统 $Ax = 0$ 至少有一个自由变量，那么它就会有无限多个解。

原因并不神秘。自由变量可以取任意实数，而不同参数值通常会产生不同解向量。

所以有一条值得明说的结论：如果变量个数多过主元方程个数，齐次系统里面就一定会留下自由变量，于是解自然是无限多个。

例题

一个自由变量已经会产生整条解线

假设行化简后得到

x_1 - 3x_2 = 0.

如果令 $x_2 = t$ ，那么 $x_1 = 3t$ ，所以所有解都可以写成

\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = t \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad t \in R.

由于 t 可以取无限多个值，所以解集也不只是“多于一个”，而是真正无限多。

例题

零空间也可能只剩平凡解

令

A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.

那么 $Ax = 0$ 就只是

x_1 = 0, \qquad x_2 = 0.

因此唯一解是零向量，所以

N(A) = \{0\}

这个例子与前面有自由变量的情形刚好相反。

零空间本身是一个子空间

零空间最先是以“解集”身份出现，但它不只是解集；它永远都是 $A$ 定义域中的一个子空间。

这也表示：零空间记录的不只是“有没有解”，而是还剩多少个真正独立的自由方向。

定理

零空间对线性组合封闭

对任何矩阵 $A$ ，N(A) 都是一个子空间。特别是：

$0 \in N(A)$ ；
若 $u, v \in N(A)$ ，则 $u + v \in N(A)$ ；
若 $u \in N(A)$ 而 c 是纯量，则 $cu \in N(A)$ 。

证明

为什么零空间是子空间

知道零空间是子空间之后，你才能继续问：它有没有基？有多少维？与主元结构之间有什么关系？

零度量出了还剩多少个独立方向

上面的讨论也说明：零空间不只是一堆解，而是系统剩余自由度的记录。

每一个自由变量，都对应一个独立参数。所以零空间的维数，正好等于化简后自由变量的个数。

用秩的语言去说，之后就会写成

\operatorname{nullity}(A) = n - \operatorname{rank}(A),

但即使在秩—零度定理正式出现之前，你也应该先把 nullity 读成“系统还剩多少条独立零空间方向”。

例题

零空间成员测试其实很直接

令

A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad x = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad z = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}.

计算得到

Ax = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad Az = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}.

因此 $x \in N(A)$ ，但 $z \notin N(A)$ 。要测试某个向量是否属于零空间，最直接的方法就是实际计算 Ax。

怎样由 RREF 读出零空间基底

实际计算时，N(A) 的基底通常直接由自由变量描述读出来。

做法可以固定为：

先把 $A$ 行化简；
分清楚主元变量与自由变量；
每次把一个自由变量设成 1，其余自由变量设成 0；
再由方程解回主元变量；
对每个自由变量重复一次。

这样得到的向量会形成零空间的一组基底候选，因为每一个向量都对应一个独立自由方向。

还要分清楚几何图像：

齐次解集永远是子空间，所以一定经过原点；
非齐次而且一致的解集，通常是把这个子空间平移到某个特解位置之后得到。

因此 N(A) 是系统的结构核心，而 $x_p + N(A)$ 才是 $Ax = b$ 的完整解集。

齐次解与列向量相关性的关系

如果把 $A$ 的列写成 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ，那么

Ax = 0

其实就等价于

x_1 a_1 + x_2 a_2 + \cdots + x_n a_n = 0.

所以只要齐次系统有一个非平凡解，就等价于 $A$ 的列向量之间存在一条非平凡线性关系。

例题

一个非平凡零空间向量就是一条相关关系

假设

x = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} \in N(A).

那么 $Ax = 0$ 就表示

1 \cdot a_1 - 2 \cdot a_2 + 1 \cdot a_3 = 0.

这句话正是一条关于 $A$ 的列向量的非平凡相关关系。

零空间如何决定唯一性

由这个结构定理可以立刻得到：

若 $N(A) = \{0\}$ ，则一致系统 $Ax = b$ 只有唯一解；
若 N(A) 含有非零向量，则每个一致系统 $Ax = b$ 都有无限多解，因为你可以在特解上加上任意标量倍的零空间向量。

所以零空间正好度量了系统中隐藏的自由度。

常见错误

零向量永远属于零空间

有些同学会误以为齐次方程组可能没有解。这是不可能的，因为 $x = 0$ 永远满足 $Ax = 0$ 。

常见错误

找到一个特解，不等于已经找到全部解

即使你已经找到某个 $x_p$ 满足 $Ax_p = b$ ，仍然要把整个零空间加上去，才算完整描述了解集。

快速检查

为什么 $Ax = 0$ 一定至少有一个解？

用一句话回答。

解答

答案

快速检查

若 $N(A) = \{0\}$ 且 $Ax = b$ 一致，它有多少个解？

请用本节定理解释。

解答

答案

快速检查

如果 $Ax = 0$ 有自由变量，解集有可能只剩两个向量吗？

请从参数形式回答。

解答

答案

练习

快速检查

若 $x_p$ 解 $Ax = b$ ，而 $u, v \in N(A)$ ，为什么 $x_p + u$ 与 $x_p + v$ 都是 $Ax = b$ 的解？

请用线性性质写一行。

解答

4.1 齐次方程组与零空间

MATH1030：线性代数 I

为什么齐次方程组特别

齐次方程组

零空间把所有齐次解收集起来

零空间

行化简会揭示零空间的形状

解一个齐次方程组并描述零空间

齐次解控制非齐次解的结构

所有解都等于某个特解加上一个零空间向量

为什么全部解都具有 xp+N(A)x_p + N(A)xp​+N(A) 的形式

一个非齐次例子

把所有解写成特解加零空间

为什么自由变量会迫出无限多个齐次解

只要有自由变量，就有无限多个解

一个自由变量已经会产生整条解线

零空间也可能只剩平凡解

零空间本身是一个子空间

零空间对线性组合封闭

为什么零空间是子空间

零度量出了还剩多少个独立方向

零空间成员测试其实很直接

怎样由 RREF 读出零空间基底

齐次解与列向量相关性的关系

一个非平凡零空间向量就是一条相关关系

零空间如何决定唯一性

常见错误

零向量永远属于零空间

找到一个特解，不等于已经找到全部解

快速检查

为什么 Ax=0Ax = 0Ax=0 一定至少有一个解？

答案

若 N(A)={0}N(A) = \{0\}N(A)={0} 且 Ax=bAx = bAx=b 一致，它有多少个解？

答案

如果 Ax=0Ax = 0Ax=0 有自由变量，解集有可能只剩两个向量吗？

答案

练习

若 xpx_pxp​ 解 Ax=bAx = bAx=b，而 u,v∈N(A)u, v \in N(A)u,v∈N(A)，为什么 xp+ux_p + uxp​+u 与 xp+vx_p + vxp​+v 都是 Ax=bAx = bAx=b 的解？

引导解答

相关笔记

本节掌握 checkpoint

先备知识

本单元重点词汇

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为什么全部解都具有 $x_p + N(A)$ 的形式

为什么 $Ax = 0$ 一定至少有一个解？

若 $N(A) = \{0\}$ 且 $Ax = b$ 一致，它有多少个解？

如果 $Ax = 0$ 有自由变量，解集有可能只剩两个向量吗？

若 $x_p$ 解 $Ax = b$ ，而 $u, v \in N(A)$ ，为什么 $x_p + u$ 与 $x_p + v$ 都是 $Ax = b$ 的解？