1.1 方程与解集

当一个线性方程组写出来时，真正重要的不是那几行方程本身，而是 有多少组数字可以同时让全部方程成立。

这个解集可以只有一个点，可以完全没有，也可以是一整族无限多个点。 本节先把这种语言立清楚，因为后面的代入、消去、矩阵、行化简和零 空间，其实都只是在更有效率地描述同一个解集。

解集记录什么

如果方程组有未知数 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，一个解就是一个有序 n 元组 $(s_1, s_2, \ldots, s_n)$，使得把每个 $x_i$ 都换成 $s_i$ 之后， 每条方程都变成真命题。

次序是重要的。(2, 3) 和 (3, 2) 是不同的有序数对。解也不是一 个集合，所以若真解是 (2, 3)，我们不会写成 {2, 3}。

整个方程组可以理解为多个条件的交集：

• 第一条方程先筛出满足它的有序元组；
• 第二条方程再筛出满足它的有序元组；
• 解集就是全部条件的交集。

所以只要其中一条方程不成立，该有序元组就不是解。

一致与不一致

这个定义很短，但含义很大。

• 一致方程组可以只有一个解。
• 一致方程组也可以有无限多个解。
• 不一致方程组没有任何解，所以其解集是空集。

课程后面会证明，这就是全部可能。

这不是凭空假设。后面会用消去法和行化简去证明。现在先记住： 一旦出现自由变量，就有无限多个选择；一旦出现矛盾，就没有解。

只有一个解的例子

完全没有解的例子

不一致不等于“很多解”。不一致就是“没有解”。

无限多解的例子

这个现象在更多未知数的方程组中仍然成立。差别只在于参数会变得更 多，写法也更长。

为什么要谈等价方程组

两个方程组若有完全相同的解集，就叫等价。

这个定义比“看起来差不多”更严格，也比“方程条数一样”更严格。 等价与否只看解集。

课程笔记指出三种基本方程操作：

1. 交换两条方程；
2. 把某条方程乘上一个非零常数；
3. 用一条方程的倍数加到另一条方程上。

这些操作就是后面增广矩阵行运算的方程版。

这就是消去法可以合法使用的原因：我们不是改题目，而是把同一个题 目改写得更容易读。

二元情形的几何图像

当只有两个未知数时，每条方程都可以视为平面上的一条直线。此时解 集就是这些直线的交集。

• 两条直线在一点相交，便有唯一解。
• 两条直线平行而不同，便不一致。
• 两条直线完全重合，便有无限多解。

这个几何图像很有用，因为它把三种可能看得很自然，不像是硬记。

为什么本节先讲解集

后面的矩阵语言不是要取代这一节，而是要把这一节正式化。

当我们引入系数矩阵和增广矩阵后，同一个方程组可以用更精简的方式 记录。当我们引入行运算后，就可以把一个方程组变成另一个等价方程 组。当我们到达阶梯形或简化阶梯形时，解集就更容易直接读出。

所以，若解集是主角，后面所有方法都只是不同的观察角度。

如果你已经熟悉如何把小型方程组理解为一组条件，可以先试试下面这 个互动预览。

常见错误与细微处

快速检查

练习

先看这里

本节是后面矩阵法的起点。接下来最有用的页面是：

• 2.2 增广矩阵与行运算
• 2.3 高斯消去与简化阶梯形
• 4.1 齐次方程组与零空间