6.4 线性依赖与线性独立

为什么这一节重要

假设一组向量已经张成某个空间。如果其中一个向量其实可以由其他向量组合出来，那它就是多余的。线性依赖与线性独立，就是用来找出这种多余性的工具。

定义

线性独立

若向量 $u_1, u_2, \ldots, u_n$ 满足

\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + \cdots + \alpha_n u_n = 0

时，只有 $\alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_n = 0$ 这个解，那这组向量就是线性独立。

定义

线性依赖

若 $u_1, u_2, \ldots, u_n$ 存在一组不全为 0 的数，使得

\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + \cdots + \alpha_n u_n = 0,

那这组向量就是线性依赖。

边看边用下面的检查器，试试一组小向量到底是“真的独立”，还是有隐藏重复。

边读边试

测试一组向量是否相依

互动检查会比较几组小向量，并解释是否存在非平凡线性关系。

判断

线性无关

解 c1e1 + c2e2 = 0 时，只会得到 c1 = c2 = 0，所以这一对向量线性无关。

关键关系

看不见任何非平凡线性关系。

一个简单读法

笔记给了两个很实用的结论：

如果一组向量是依赖的，总有一个向量可以写成其他向量的线性组合；
如果一组向量是独立的，就没有任何一个向量可以这样写。

这就是实际判断时最快的读法。

例题

依赖意味着有一条关系式

笔记里有

u_3 = u_1 + u_2.

改写后就是

u_1 + u_2 - u_3 = 0.

这是一条非平凡线性关系，所以这组向量是线性依赖。

证明

为什么依赖代表有一个向量多余

常见错误

依赖不等于没用

一组依赖向量仍然可以张成一个空间。它只是有多余成分，所以在想找最小张成集时特别有用。

矩阵判据与主元判据

把 $u_1,\dots,u_n$ 排成列向量矩阵

A=[u_1\ u_2\ \cdots\ u_n].

线性关系

\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_nu_n=0

等价于齐次系统 $A\alpha=0$ 。所以“线性独立”就等价于该系统只有平凡解。

定理

独立性的矩阵等价判据

$u_1,\dots,u_n$ 线性独立，当且仅当 $A=[u_1\ \cdots\ u_n]$ 每一列都有主元（等价地， $A\alpha=0$ 没有自由变量）。

例题

用行化简判断独立

令

u_1=\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix},\ u_2=\begin{bmatrix}2\\4\\3\end{bmatrix},\ u_3=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}.

设 $A=[u_1\ u_2\ u_3]$ ，化简后每一列都有主元，因此三向量线性独立。

快速检查

$R^3$ 里的 $e_1, e_2, e_3$ 是否线性独立？

试试向量方程 $\alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + \alpha_3 e_3 = 0$ 。

解答

答案

快速检查

只要一组向量包含零向量，它还可能线性独立吗？

直接用定义判断。

解答

答案

快速检查

若 $R^3$ 里有 5 个向量，能否线性独立？

用主元个数上限判断。

解答

答案

练习

快速检查

判断 `{(1,0,1),(2,1,3),(0,1,1)}` 是否线性独立。

把三个向量排成矩阵列，再做行化简。

解答

引导解答

快速检查

把 `{(1,2,3),(2,4,6),(1,0,1)}` 的依赖关系写出来。

先找明显的倍数关系。

解答

引导解答

依赖就是冗余

定理

等价的冗余判据

一组向量线性依赖，当且仅当其中一个向量可以写成其余向量的线性组合。

证明

为什么依赖与冗余是一回事

例题

删去冗余向量，不会改变张成

令

u_1 = \begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix},\qquad u_2 = \begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix},\qquad u_3 = \begin{bmatrix}1\\3\\2\end{bmatrix}.

这里 $u_3 = u_1 + u_2$ 。因此任何

a u_1 + b u_2 + c u_3

都可改写成

(a+c)u_1 + (b+c)u_2.

所以

\operatorname{Span}\{u_1,u_2,u_3\} = \operatorname{Span}\{u_1,u_2\}.

第三个向量改变了描述方式，但没有改变张成本身。

定理

冗余向量可以删去，而不改变张成

若一组向量之中有一个向量是其余向量的线性组合，删去它之后，张成不会改变。

证明

为什么张成保持不变

常见错误

依赖不代表张成变小

一组依赖向量仍然可以张成整个空间。依赖只表示至少有一个向量其实不需要。

列矩阵判据与零空间观点

把向量排成矩阵

A = [u_1\ u_2\ \cdots\ u_n].

则关系式

\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_nu_n=0

正正就是齐次系统 $A\alpha=0$ ，其中 $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)^T$ 。

定理

矩阵判据

$u_1,\dots,u_n$ 线性独立，当且仅当齐次系统 $A\alpha=0$ 只有平凡解。等价地，N(A) 只包含 0。

证明

为什么齐次系统决定依赖性

例题

从行化简读出一条关系式

考虑

A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 3\\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix},

其三列分别是 $u_1=(1,2,1)^T$ 、 $u_2=(0,1,1)^T$ 、 $u_3=(1,3,2)^T$ 。行化简得

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 3\\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2-2R_1,\ R_3-R_1} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3-R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.

第三列不是主元列，所以 $\alpha_3$ 是自由变量。取 $\alpha_3=1$ ，便有 $\alpha_1=-1$ 、 $\alpha_2=-1$ ，因此

-u_1-u_2+u_3=0,

也就是 $u_3=u_1+u_2$ 。

定理

主元判据

把 $A$ 行化简之后，若每一列都有主元，则 $u_1,\dots,u_n$ 线性独立。若有一列不是主元列，就会出现自由变量，因此存在非平凡关系式。

常见错误

行化简是为了看齐次系统，不是要改变原来的向量

做依赖性测试时，行化简 $A$ 不是把原本的向量换成另一批想研究的新向量，而是在简化方程 $A\alpha=0$ 。行等价矩阵有相同的齐次解集，所以它们有相同的依赖关系。

低维快速判断

定理

两个非零向量独立，当且仅当它们不是彼此的倍数

对一组 {u,v}，若两个向量都非零，则它们线性独立，当且仅当其中一个不是另一个的倍数。

证明

两个向量为什么只需看倍数关系

例题

$R^2$ 里的两个向量

令

u = \begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}, \qquad v = \begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}.

因为 $v=2u$ ，所以这对向量相依。几何上，它们指向同一个方向。

例题

$R^2$ 里三个向量一定相依

若 $u_1,u_2,u_3 \in R^2$ ，则矩阵 $A=[u_1\ u_2\ u_3]$ 是一个 $2\times 3$ 矩阵。行化简后最多只有两个主元，所以一定有一列不是主元列。这就表示 $A\alpha=0$ 有自由变量，因此这三个向量相依。

例题

$R^3$ 里位于同一平面的三个向量

若 $R^3$ 中三个向量都落在平面 $z=0$ ，它们全都属于 $e_1$ 和 $e_2$ 的张成。但那个平面本身只需要两个独立方向来描述，所以第三个向量不可能再提供新的独立方向。这组向量相依。

定理

在 $R^m$ 里，太多向量一定相依

$R^m$ 中任何多于 m 个向量的列表都一定线性相依。

证明

为什么超过 `m` 个向量不可能全部独立

快速检查

任何包含零向量的向量列，都一定相依吗？

直接从定义出发。

解答

答案

快速检查

若 $u_3 = u_1 + u_2$ ， $\\{u_1,u_2,u_3\\}$ 还可能独立吗？

把它改写成 $\\alpha_1u_1+\\alpha_2u_2+\\alpha_3u_3=0$ 。

解答

答案

快速检查

若一个 $4\\times 4$ 矩阵有四个主元列，这代表它的列向量有什么性质？

用矩阵判据回答。

解答

答案

引导练习

快速检查

判断 `\\{(1,1,0),(0,1,1),(1,2,1)\\}` 是否独立，若不独立，写出一条关系式。

把向量排成列，再做行化简，看看有没有自由变量。

解答

引导解答

快速检查

解释为什么线性独立集合的任何子集也线性独立。

想想若子集自己有关系式，会对整个集合造成什么影响。

解答

引导解答

快速检查

若一组向量里有一个向量是多余的，下一步通常应该做什么？

用本页的冗余观点来想。

解答

引导解答

预备链接

这一页建立在 6.3 线性组合与张成和 2.3 高斯消元与 RREF 之上。

6.4 线性依赖与线性独立

MATH1030：线性代数 I

为什么这一节重要

线性独立

线性依赖

测试一组向量是否相依

一个简单读法

依赖意味着有一条关系式

为什么依赖代表有一个向量多余

常见错误

依赖不等于没用

矩阵判据与主元判据

独立性的矩阵等价判据

用行化简判断独立

快速检查

R3R^3R3 里的 e1,e2,e3e_1, e_2, e_3e1​,e2​,e3​ 是否线性独立？

答案

只要一组向量包含零向量，它还可能线性独立吗？

答案

若 R3R^3R3 里有 5 个向量，能否线性独立？

答案

练习

判断 {(1,0,1),(2,1,3),(0,1,1)} 是否线性独立。

引导解答

把 {(1,2,3),(2,4,6),(1,0,1)} 的依赖关系写出来。

引导解答

依赖就是冗余

等价的冗余判据

为什么依赖与冗余是一回事

删去冗余向量，不会改变张成

冗余向量可以删去，而不改变张成

为什么张成保持不变

依赖不代表张成变小

列矩阵判据与零空间观点

矩阵判据

为什么齐次系统决定依赖性

从行化简读出一条关系式

主元判据

行化简是为了看齐次系统，不是要改变原来的向量

低维快速判断

两个非零向量独立，当且仅当它们不是彼此的倍数

两个向量为什么只需看倍数关系

R2R^2R2 里的两个向量

R2R^2R2 里三个向量一定相依

R3R^3R3 里位于同一平面的三个向量

在 RmR^mRm 里，太多向量一定相依

为什么超过 m 个向量不可能全部独立

快速检查

任何包含零向量的向量列，都一定相依吗？

答案

若 u3=u1+u2u_3 = u_1 + u_2u3​=u1​+u2​，u1,u2,u3\\{u_1,u_2,u_3\\}u1​,u2​,u3​ 还可能独立吗？

答案

若一个 4times44\\times 44times4 矩阵有四个主元列，这代表它的列向量有什么性质？

答案

引导练习

判断 \\{(1,1,0),(0,1,1),(1,2,1)\\} 是否独立，若不独立，写出一条关系式。

引导解答

解释为什么线性独立集合的任何子集也线性独立。

引导解答

若一组向量里有一个向量是多余的，下一步通常应该做什么？

引导解答

预备链接

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先备知识

本单元重点词汇

本系列更多笔记

$R^3$ 里的 $e_1, e_2, e_3$ 是否线性独立？

若 $R^3$ 里有 5 个向量，能否线性独立？

判断 `{(1,0,1),(2,1,3),(0,1,1)}` 是否线性独立。

把 `{(1,2,3),(2,4,6),(1,0,1)}` 的依赖关系写出来。

$R^2$ 里的两个向量

$R^2$ 里三个向量一定相依

$R^3$ 里位于同一平面的三个向量

在 $R^m$ 里，太多向量一定相依

为什么超过 `m` 个向量不可能全部独立

若 $u_3 = u_1 + u_2$ ， $\\{u_1,u_2,u_3\\}$ 还可能独立吗？

若一个 $4\\times 4$ 矩阵有四个主元列，这代表它的列向量有什么性质？

判断 `\\{(1,1,0),(0,1,1),(1,2,1)\\}` 是否独立，若不独立，写出一条关系式。